流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
∫
CV
φ dτ + ∫
CS
系统某物理量随时间的变化率和控制体 上物理量变化之间的关系
流体力学
流体力学
(
)
out
−∑
(
r & miVi
)
in
动量方程13－解题注意事项
正负号的确定 力与速度在各坐标轴上投影的方向同坐标 方向一致时，取正号，反之取负号 大气压强的作用 大气压强作用于闭合控制体四周，所产生 的静压力相互抵消，可采用表压计算压力
流体力学
动量方程14－解题注意事项
管道问题和自由射流问题 管道问题需考虑表压力不为零的情况 运动控制体 CV 做匀速运动，所有运动量均为相对于 CV的，若CV做加速运动或旋转，则需添 加惯性力
系统
某一确定流体质点集合的总体
与外界无质量交换 随流体质点的运动而运动 边界形状、包围空间大小 随流体质点的运动而变化 拉格朗日方法下的概念
流体力学
控制体1
控制体
流场中某一确定的空间区域
与外界有质量交换 空间位置相对于某参照系不变 边界形状、包围空间大小一般是确定的 欧拉方法下的概念
流体力学
控制体2
4.2 对控制体的积分方程
连续方程
系统的质量守恒
系统体积为τ，质量为M，质量守恒
DM =0 Dt
初始时刻系统与控制体重合
r r DM ∂ = ∫ ρdτ + ∫ ρV ⋅ ndS = 0 CS Dt ∂t CV
流体力学
连续方程2
r r ∂ ∫CV ρdτ + ∫CS ρV ⋅ ndS = 0 ∂t
CS
r r φV ⋅ ndS
系统变量N的变化只取决于控制面上的流 动，与控制体内的流动无关 运动控制体
DN sys Dt
流体力学
r r ∂ = ∫ φdτ + ∫ φVr ⋅ ndS CS ∂t CV
积分方法的优点
积分方法无需了解内部细节，甚至允许物 理量在内部发生间断，只利用 CV 和 CS， 花很少时间就能获得有价值的结果 方法简单，计算量小 适于研究大范围内的流体运动，特别是求 解对有限区域固体边界的总体作用
水以均匀速度U流入一二维通道，由于通道弯曲 水以均匀速度U流入一二维通道，由于通道弯曲 了90º，在出口端速度分布变为 c(3.5-x/h)。设通 了90º，在出口端速度分布变为 c(3.5-x/h)。设通 道宽度为常数，求 c。定常流动 道宽度为常数，求 c。定常流动
解：定常流动
∫
CS
r r ρV ⋅ ndS = 0
& ∑m
流体力学
in
& = ∑ mout
∑Q
in
= ∑ Qout
连续方程4
运动控制体
r r ∂ ∫CV ρdτ + ∫CS ρVr ⋅ ndS = 0 ∂t
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
∑ ( ρV A )
r
in
= ∑ (ρVr A)out
流体力学
连续方程－例题1
y
x
θ
& & = ∑ (miVxi )out − ∑ (miV xi )in
流体力学
动量方程7－例题1
V1Q1 − V0 cos θ Q0 − V2Q2 = 0
Q0 ⎧ ⎪Q1 = 2 (1 + cosθ ) ⎨ Q ⎪Q2 = 0 (1 − cosθ ) 2 ⎩
A1 , Q1 ,V1
1-1 0-0
解：(1) 坐标系 (2) 控制体 (3) 受力分析 弯头支撑力Rx，Ry 表压力 P
流体力学
V1 , p1 , A1
P = p 1 A1
Rx
y
Ry
V2 , pa , A2
x
动量方程9－例题2
(4) 连续方程
V1 , p1 , A1
∑Q
in
= ∑ Qout
V1 A1 = V2 A2
P = p 1 A1
ρw
A2,V2 2
流体力学
动量方程1
动量方程－惯性系
系统的动量定理
系统体积为τ，动量为k，动量定理
r r Dk ∑ F = Dt
初始时刻系统与控制体重合
r ∂ r rr r ∑ F = ∂t ∫CV ρVdτ + ∫CS ρVV ⋅ ndS
流体力学
动量方程2
r ∂ r rr r ∑ F = ∂t ∫CV ρVdτ + ∫CS ρVV ⋅ ndS
d2 d1 1 Fy α y x
A1, Q1, v1
v2
Fx β d3 v3
1
y
A0, Q0 v0
x
1-1
y V 1
2 2 x U
60o
0-0
2-2
A2, Q2, v2
θ
A1
1
流体力学
系统的物质导数
物理定律通常应用于系统 系统的物质导数
DN D = ∫sys φdτ Dt Dt
dτ
N
系统体积内包含的总物理量 单位体积流体的物理量分布函数
∂ ∫CV ρdτ ∂t
CV中流体质量对时间的变化率 流出CV的流体质量的净流率
∫
CS
r r ρV ⋅ ndS
单位时间CV内流体质量的增加与净流出CV 的流体质量流量之和为零
流体力学
连续方程3
定常流动 均质不可压缩
∫
CS
r r ρV ⋅ ndS = 0 r r ∫ V ⋅ ndS = 0
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
A0 , Q0 ,V0
r F
动量方程 - y方向
Fy = F
2-2
A2 , Q2 ,V2
y
x
θ
& = ∑ miV yi
流体力学
(
)
out
& − ∑ miV yi
(
)
in
F = ρV0 Q0 sin θ
动量方程8－例题2
管道流动：已知A11 = 0.01m22 ,, A22 = 0.0025m22 ,, V22 = 管道流动：已知A = 0.01m A = 0.0025m V = 16m/s ， ρ ＝ 999kg/m33， p11 = 221kPa ， paa = 16m/s ， ρ ＝ 999kg/m ， p = 221kPa ， p = 101kPa，忽略重力和摩擦力。求弯头所受支撑力 101kPa，忽略重力和摩擦力。求弯头所受支撑力
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
Rx = ρA2Vr22 cos 60o − ρA1Vr2 1
流体力学
动量方程18－运动控制体
Rx = ρ (V − U ) A1 (cosθ − 1) = −599(N )
2
动量方程 – y方向
y 2 2 V 1 A1 x U Rx Ry
60o
Fy = R y
∂ ∫CV φdτ ∂t
r r ∂ = ∫ φdτ + ∫ φV ⋅ ndS CS ∂t CV
系统的变量 N 对时间的变化率 控制体变量 N 对时间的变化 率，反应流场的非定常性 变量 N 流出控制体的净流 率，反应流场的不均匀性
∫
CS
r r φV ⋅ ndS
流体力学
雷诺输运方程3
定常流动
DN sys Dt =∫
A H
ρa
第二项：净流出率
1 A1,V1 h
ρw
∫
流体力学
CS
r r ρV ⋅ ndS
A2,V2 2
= ρ w A2V2 − ρ w A1V1
连续方程－例题2
dh ρ w A + ρ w A2V2 − ρ w A1V1 = 0 dt