∆ = ± ∑ N ∆s ± ∑ 1
c2 = 0.003 mm， mm，
BCD制造时作成了半径为 杆AC制造时长了 0.001m，杆BCD制造时作成了半径为 200 m AC制造时长了 0.001m
B
c2 c1
D C 4m
ρ0
∫
Mds
A 3m 2m
同时考虑支座沉降影响时，位移公式为： 同时考虑支座沉降影响时，位移公式为：
−t
F
o
l
C
l 2
1 D F 0.5 E
1
1
E
−
C
0.5
−
D 2
l
+
−
+t
o
B A
−t
o
l
2
A
B
−
1
0.5
l
l
1 l
o
AB段： t 0 = 0, ∆t = 2t AB段
∆ = ± ∑ α t 0 ∫ Nds ± ∑
α ∆t
h
o BC段 BC段： t 0 = 0, ∆t = 2t o BE段： t 0 = t , ∆t = 0 BE段 o EC段 EC段： t 0 = 0, ∆t = 2t o CD段： t 0 = − t , ∆t = 0 CD段
2 二次抛物线 ω = lh 3
× C
5 l 8
1 二次抛物线 ω = lh 3
× C
l
h
3 l 8
3 l 4
h
l
1 l 4
二次抛物线 × C
1 l 2
n 次抛物线
h
1 l 2
l
2 ω = lh 3
n +1 l n + 2l
× C
h
1 l n+2
1 ω= lh n +1
求图示梁中B 例1：求图示梁中B结点的竖向位移 位移 。 解：（1）求B点竖向位移 ：（1 先计算弯矩 M P 和 M A AB段以A为原点： AB段以A为原点： 段以 2x M P = M − 1 l
∆ = ± ∑ N ∆s ± ∑
∫ Mds − ∑ R k ck ρ0
1
计算单位荷载下的内力图 计算支座反力： 计算支座反力：
1 4 1 3
1 1
代入位移计算公式得： 代入位移计算公式得：
∆ = ± ∑ N ∆s ± ∑
−
5 12
∫ Mds − ∑ R k ck ρ0
1
5 1 1 1 1 = − × 0.001 − 1 × 2 + × 3 × 1 − × 0.002 + × 0.003 4 12 200 2 3
D
A
例6：图示结构支座 B发生支座沉降，已知 c1 = 0.002 发生支座沉降， 的圆弧曲线， 的圆弧曲线，试求截面 D的角位移 θ D 。 对于制造误差引起的位移， 解： 对于制造误差引起的位移，其 计算方法可仿照温度变化时的 计算思路， 计算思路，仅需将温度变化时 所引起的弯曲变形和轴向变形 分别以制造误差引起的相应变 形来代换即可。 形来代换即可。
= α t (0.5 × l ) +
α ⋅ 2t 1
l l l l + 2 × l × 2 + 2 × 2 + − 2 × l 01l .
[
(
2 × 2l
)]
∫ Mds
= 2.5α t l
例4： 求图示结构由于AD杆加热 80 C 时桁架各点的位移。 求图示结构由于AD杆加热 时桁架各点的位移。 AD − 5 o −1 α C 已知材料线胀系数为： = 1 × 10 已知材料线胀系数为： E 解： ∆ = ± α t Nds
∆tHE = ∑ α t ∫ Nds
1 2 = α t ( − ) × 15 × 4 + ( − ) × 15 × 2 + 1 × 15 5 . . . 5 5 = −3.36 α t = −4.02 × 10 −5 t (m)
t 令 ∆ HE = −∆ HE
注意： 注意：
α ∆t
h
∫ Mds
l
+t o −t o B
l
A
1、在计算温度变化所引起的 结构位移时， 结构位移时，梁式杆件中 轴向变形的影响不能忽略 不计； 不计；
l
l
l
正负号取法: 2、正负号取法: t 0 与 N 以及 ∆t 与 M 所引起杆件变形的方向一 致时，取正号，相反时取负号。 致时，取正号，相反时取负号。
0.5
∆ = − ∑ Rk c k
在 CDE杆上施加与杆件 CDE杆上施加与杆件 转角位移相对应的单位 力——集中力偶 集中力偶 计算相应的支座反力
0.5
0
A
1b 2m
2m
1m
a
代公式可得： 代公式可得：
ϕ CE = − ∑ R c − ∑ R c
= −( −0.5 × 0.02) − (0.5 × 0.04 + 1 × 0.01) = −0.02rad
M =0
及B两侧截面的相对转角
q
M
EI
l 2
B
EI
l
C
BC段以B为原点： BC段以B为原点： 段以 qx 3 2 M MP = − + x 6l l
M = −x∆BB来自P =1A B C
l
C MP M MP M =∫ dx + ∫ dx A B EI EI l2 l 1 qx 3 2M − ( − x )dx = = 0+∫ + 0 EI 3EI 6l l
t
o
∑
0
∫
1）求结点 C的位移 AD杆件轴力等于零 杆件轴力等于零， AD杆件轴力等于零，故 C结点竖向位移为零。 结点竖向位移为零。 C结点水平位移也为零。 结点水平位移也为零。 2）求结点 B的位移 B点竖向单位力作用下， 点竖向单位力作用下， N DA = −1
∆ BV l = −80α × 1 × cos 30 = −0.924 × 10 −3 l
E
1/10 1
∆ AH
0.2 1 2 2 25 1 1 33 5 158.1 −+ 3 = = × 5 × 50.• ××10 = 0 791 1.0 2 × 5 × 50 • 3 ×1.0 − 3 × 5 × 4 • 2 ×1.0 EI EI 6 2
1 2 + × 5 × 25 • × 1.0 2 3 10 + (− 2 × 10 × 1 + 2 × 1× 20 − 1× 20 + 20 × 1) 6
= – 0.0194（弧度 弧度） 弧度
例7：求图示结构在外荷载作用下， H与 E结点间的相对位移； 求图示结构在外荷载作用下， 结点间的相对位移； 在均匀温度作用下，求使上述相对位移消失的温度变化值。 在均匀温度作用下，求使上述相对位移消失的温度变化值。 已知： MPa， 已知： = 2.1 × 105 MPa，线胀系数 α = 1.2 × 10 −5 o C −1 E 杆件截面面积 A = 1 × 10 L 20kN K A B 30kN C 40kN D 50kN E
D
30 o
A E
l
B
l
C
D 1 A B 1 1
30 o
1 C 1
l
l
3）求结点 D的位移 D点竖向单位力作用下， 点竖向单位力作用下， AD杆产生的轴力与B AD杆产生的轴力与B点竖 杆产生的轴力与 向力作用下所产生的轴力， 向力作用下所产生的轴力， 故有 ∆ DV = −0.924 × 10 −3 l D点水平单位力作用下
利用 J结点平衡条件可求得：N CJ = −148.7 kN N JI = 65.7 kN 结点平衡条件可求得： 利用 I结点平衡条件可求得：N IH = 25.7 kN 结点平衡条件可求得： 代入位移计算公式得： ∆ HE = ∑ N P N l 代入位移计算公式得：
RJ
1.5m
1.5m
（2）求温度均匀变化时，H与E点间的相对位移 求温度均匀变化时， 度时， 点间的相对位移为： 温度均匀升高t度时，H与E点间的相对位移为：
2、变形体体系的虚功原理： 变形体体系的虚功原理： 设变形体体系在力系作用下处于平衡状态， 设变形体体系在力系作用下处于平衡状态，又设体系由于其它 原因发生符合约束条件的微小的连续变形， 原因发生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在位移上所 作的虚功总和恒等于各个微段切割面上的应力合力在应变上所 作的总虚功。 作的总虚功。 结构位移计算的一般公式： 结构位移计算的一般公式：
A
5m
AB杆的转角位移 杆的转角位移。 例2：求图示结构 AB杆的转角位移。
G 10kN
5m
=
l 13ql 2 − 270 M 120 EI
(
)
D
5m
7kN F
2kN/m C
5m
7kN F 35 D 10 25
50kN.m B 5m G 10kN 20 5m 5m 15kN A 1
1
1/10 1
5m
−3
m2
1.5m 1.5m 30
F 1.5m 1.5m
G 1.5m
H 1.5m
I 1.5m
J
分析]与相对线位移对应的单位荷载是一对大小相等、方向相反， [ 分析]与相对线位移对应的单位荷载是一对大小相等、方向相反， 且作用线相重合的力系。 且作用线相重合的力系。
解：（1）求荷载作用下 E与 H点的相对位移 ：（1 施加单位广义荷载，计算单位荷载作用下的杆件轴力。 施加单位广义荷载，计算单位荷载作用下的杆件轴力。 L 0 K 0 0 F 1.5m A 0 0 0 0 B 0 0