9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]
上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明：
1
1
*
*0
1
1
*
*0
11**0
()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()n
m
n m n
m
n m n m n n
m
n m x T x T x dx x T x dx
t x x T x T x dx t T t dt t T t dt
T x x T
x T x dx t T t ρρρ---=--=-==
=
⎰⎰⎰⎰
⎰令，则
由切比雪夫多项式1
01=02
m n dt m n m n ππ
≠⎧⎪⎪
=≠⎨⎪==⎪⎩⎰
所以*{()}n T x 是在[0,1]
上带权()x ρ=
*00*11*
2
2
2
2*33233()(21)1()(21)21
()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181
T x T x T x T x x T x T x x x x
T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-
14.已知实验数据如下：
用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 即
5
5327271.453277277699369321.5a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得
0.972579
0.050035a b =⎧⎨
=⎩
拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差
2
4
2
2
0[]0.015023i i
i y a bx σ==--=∑
21.给出()ln f x x =的函数表如下：
用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有
1
100.60.5
0.693147
0.510826
0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52
j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑
所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--
2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===
由拉格朗日插值定理有
20
22
(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)
0.916291
0.6931470.510826
(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)
2.041150 4.0684752)().217097
()
j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以
2ln 0.54(0.54)0.615320
L ≈=-
误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-⨯
23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。

边界条件''(0.3)''(0.3)0s s -==
解：由剖分节点可知012
121211
0.2,,22h h h λλμμ======= 101221236[,,] 6.4215,6[,,] 6.4215d f x x x d f x x x ====
得到方程组
1212 6.421521 6.421522M M ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
解得12 2.5686M M == 注意到030M M == 得到三次样条插值函数()s x
322322.1405 1.92645 1.0642150.000632,[0.3,0.1]1.28430.002773,[0.1,0.1]2.1405 1.926450.9357850.000632,[0.1,0.()3]x x x x x x x x x x x s x ++-∈--+-∈--⎧+∈=+-⎪
⎨⎪⎩
29.确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所
构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()(0)()h
h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰
解：取2()1,,f x x x =，有
21h
h h dx A B C -=≈++⎰
0h
h
xdx Ah Ch -=
=-+⎰
3
22223h
h
h x dx Ah Ch -==+⎰ 解以上方程，得1
4,33
A C h
B h ===
求积公式为141()()(0)()333
h
h f x dx hf h hf hf h -≈-++⎰
取3
()f x x =，30,()(0)()0h
h
x dx Af h Bf Cf h -=-++=⎰
取4()f x x =，
4544542112,()05333
()(0)()
h
h
h
h
x dx h h h B h h h x dx Af h Bf Cf h --=
-+⋅+⋅=≠-++⎰
⎰所以
因此构造的求积公式代数精度为3
30.证明求积公式
1
1
1()[5(8(0)59f x dx f f f -≈++⎰ 的代数精度为5 证明：取()i f x x =
则对0
i≥
任意的，有1111
+11
-1
11
0,
11(1)
()|=2
11
1
i i
i i
i
f x dx x dx x
i i i
i
++
--
⎧
--⎪
===⎨
++⎪
+
⎩
⎰⎰
为奇数
，为偶数
1
1
1
2
1
()
111
[5(8(0)5[5(5[-55
999
11
0[5(8(0)5[585]=2
99
11332
2[5(8(0)5[55]=
99553
1
4[5(8
9
i f x
f f f f f f f
i f f f x dx
i f f f x dx
i f
-
-
++++
=++++=
=++⨯+⨯=
=+
⎰
⎰
为奇数时，为奇函数
时，
时，
时，
1
4
1
1
6
1
1992
(0)5[55]=
925255
1127276
6[5(8(0)5[55]=
9912512525
f f x dx
i f f f x dx
-
-
+⨯+⨯=
=++⨯+⨯≠
⎰
⎰
时，
从而有6268
()0,05,()0
725175
i
E x i E x
=≤≤=-=≠
所以求积公式的代数精度为5
33.求
1212
,,,
x x A A,
使公式1
1122
()()()
x A f x A f x
≈+为高斯型求积公式解：构造区间[0,1]
的二次正交多项式2
2
()
P x x ax b
=++
由
2
()
P x与1x
和正交，可得
00
2
2
00
22
0())2
53
P x dx x ax b dx a b
==++=++
00
2
2
00
222
0()()
753
xP x dx x x ax b dx a b
==++=++
联立以上方程，可得63
,
735
a b
=-=
所以2
2
63
()
735
P x x x
=-+
求
2
()
P x的零点即为高斯求积公式的节点
121
(30.11558711007
1
(30.7415557471
7x x =
-==+=
1
1
1
1000
01
1
1
2110
()()()1 1.304290310
()()()10.6957096903
A x l x dx x dx A x l x dx x dx ρρ==========⎰⎰。