2019新高二暑期返校考试数学试卷
(总分150分；时间120分钟总分)
一、选择题
1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )
A ．(2,3]
B ．(2,3)
C ．(－3，－2)
D ．[－3，－2)
2．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2 B ．1 C ．3 D.3＋2 3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A ．y ＝cos|2x |
B ．y ＝|sin x |
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x
D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－2x 4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；
当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2
5．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.
若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1
6．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )
7．已知函数f (x )＝32,2,(1),2,
x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k
的取值范围是( )A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(0,1] D ．(－1,0)
8.如图，在△ABC 中，23AD AC =u u u r u u u r ，13
BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ
的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．2 D ．－2
9．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x 等于( ) A.24 B ．－24 C.427 D ．4 2
10．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22
，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34
11．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋π3 (－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB OC +u u u r u u u r )·OA u u u r 等于( )
A ．－32
B ．－16
C ．16
D ．32
12．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO =u u u r u u u r ，则FD FE ⋅u u u r u u u r 等于( )
A ．－34
B ．－89
C ．－14
D ．－49
二、填空题
13．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1) 2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．
14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5
＝________.
15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若14AC BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AD BC
⋅u u u r u u u r ＝________.
16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题：
①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；
②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上单调递增； ③函数f (x )的图象关于点(π12
，0)对称； ④将函数f (x )的图象向左平移5π12
个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上)
三、解答题
17．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－log 2(1－x )．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性；
(3)求使得不等式f (x )>0成立的x 的解集．
18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
(1)求a 与b 的夹角θ；
(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b ·c ＝0，求t 及|c |.
19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a ·b .
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；
(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．
20. 已知f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．
(1)求k 的值；
(2)设g (x )＝log 4⎝
⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．
21．在△ABC 中，＝(－3sin x ，sin x )，＝(sin x ，cos x )．
(1)设f (x )＝·，若f (A )＝0，求角A 的值；
(2)若对任意的实数t ，恒有|－t |≥||，求△ABC 面积的最大值．
22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量
可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；
(2)因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值．。