0
F FN
W F dr F v dt 0
约束反力作功等于零的约束
14 理想约束。
4. 内力的功
z A rA
O
FA 和FB 在drA 和drB 上所作之元功
dW i FA d rA FB d rB
FA FB rB B y
FB (-d rA d rB ) FB d(rB - rA )
FB d rAB
这一结果表明：当两点 之间的距离发生变化时， 这两点之间的内力所作之 元功不等于零。 15
x
rB rA rAB
d rB d rA d rAB
工程上几种内力作功的情形
◆ 作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例 如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内 力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁 间的内力；这些内力都要作功。 ◆ 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。
9
刚体的动能 a. 平动刚体的动能
1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi mvC 2 2 i 2
b. 定轴转动刚体的动能
1 1 2 T mi vi mi (ri ) 2 i 2 i 2 1 2 mi ri 2 2 i 1 J z 2 2
z
ri
vi
mi

y x
10
c. 平面运动刚体的动能
1 T J P 2 2来自J P J C md
2
d
C
P

1 1 2 T J P ( J C md 2 ) 2 2 2
v C d
vC
1 2 1 2 T mvC J C 2 2
C
vC
1 2 1 T mvC J C 2 2 2
1 J C mR 2 , vC R 2
3 2 T mvC 4
11
§14-2 动能定理
1. 质点的动能定理
dv m F dt dv m dr F dr dt
mv dv F dr
1 1 v dv d (v v ) d (v 2 ) dv 2 2
C1
C2
2
1
8
§14-2 质点和质点系的动能
质点的动能
1 2 T mv 2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点 速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的 一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种 度量。动能与功的量纲相同，也为 J 。 质点系的动能
1 T mi vi2 i 2
1 d ( mv 2 ) W 2
1 1 2 2 mv2 mv1 W12 2 2
12
2. 质点系的动能定理
1 d ( mi vi2 ) Wi 2 1 d ( mi vi2 ) Wi 2
dT Wi
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作 的元功的和 微分形式。
A1
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r W12
r2 r1
k k (r l0 )dr [( r 1l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 2
k 2 2 W 12 ( 1 2 ) 2
W12
M2
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz )
W F dr F vdt
W
M2 M1
F vdt
4
c. 几种常见力的功 （1）重力的功
X 0, Y 0, Z mg
z2 z1
x
W12 mgdz mg ( z1 z 2 )
对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束反力， 当其为理想约束时，约束反力不作功。
如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？
2
§14-1 力的功
a. 常力的功
M M1 S
F

M2
W F cos s
功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。
b. 变力的功
W F cosds
W F cosds
0 s
3
W F dr
W
M2 M1
F dr
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
T2 T1 Wi
质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作 用于质点系全部力所作功的和 积分形式。 13
3. 理想约束
dr F′
O
dr1 F
B
O
1
F1

F2
dr2 2
A
W F dr F dr 0
C
W F1 dr1 F2 dr2 F1dr1 cos 1 F2 dr2 cos 2
Fi drC Fi driC
d
Fi driC Fi cos CM i d M C ( Fi )d
drC
C
W Wi Fi drC M C ( Fi )d drC M C d FR
dr C M C d W 12 FR
从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法
从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力 maC = F1 - F2 - Fr
F1 －汽车行驶的驱动力
C Fr W Mf2 FN2
1
F1 >F2 ＋Fr 汽车向前行驶
Mf1
F1 F N1
F2
从汽车的驱动问题看 动量方法与能量方法 如果发动机的功率很小而摩擦力很大 如果发动机的功率很大而摩擦力很小
6
（3）定轴转动刚体上作用力的功
z
F
W F dr F ds F rd
M z ( F ) F r
r
A
y
W M z d
W 12
x
F

2
1
M z d
A
Fn
Fxy
7
（4）平面运动刚体上力系的功
Fi driC

Mi
dri drC dric
W Fi dri
重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关， 与运动轨迹形状无关。 质点系：
W
12
mi g ( zi1 zi 2 )
5
W 12 mg ( zC1 zC 2 )
（2）弹性力的功
F k F k (r l0 )r0
W12

A2
A1 A2
F dr k (r l0 )r0 dr