函数与方程知识点总结
1、函数零点的定义
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么， 函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）二次函数零点个数确定
0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根；
0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；
0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ;③计算()f c ;
(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);
(ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);
④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ B ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断，故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.
解法2：设1=2x y ，3
2=2y x -，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.
42
2
468510
【例2】函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( B )
A 、(－2，－1)
B 、(－1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2)
【解析】∵f (－1)＝2－1＋3×(－1)＝－52
<0，f (0)＝20＋0＝1>0，∴f (－1) f (0)<0. ∴ f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例3】下列函数中能用二分法求零点的是 ( C )
【例4】若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是）
，（∞+1. 【解析】 函数)(x f =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点， 方程0=--a x a x 有两个不相等的实数根，即
两个函数x a y =与a x y +=的图像有两个不同的交点，当10<<a 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不
合题意；当1>a 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
【例5】函数223,0()2ln ,0
x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为 （ B ）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
【例6】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为
（ C ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5
【例7】如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ C ）
A 、11(,)4+∞
B 、11(,)2-∞
C 、11(,)4-∞
D 、11(,)2
+∞ 【例8】方程0lg =-x x 根的个数为 （ D ）
A 、无穷多
B 、3
C 、1
D 、0
【例9】用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(><f f ，，可得其中一个零点
∈0x ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( A )
A 、（0，0.5），)25.0(f
B 、（0，1），)25.0(f
C 、（0.5，1），)75.0(f
D 、（0，0.5），)125.0(f
反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)提醒：函数的零点不是点，是方程0)(=x f 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．。