dv ( 2l ) dv2 ( 2l ) EI 3 M 0 2l C 2 C 3 dx dx
C3 M0l
D3
梁的连续光滑挠曲线 (1)
•正确答案：D •判断梁变形后挠曲线的大致形状
1 0
v1 0
2
v2
1 ( M 0 x M 0l ) EI
3
例题 1
解：2．建立梁的弯矩方程 从坐标为x的任意截面处 截开，因为固定端有两个约 束力，考虑截面左侧平衡时， 建立的弯矩方程比较复杂， 所以考虑右侧部分的平衡， 得到弯矩方程：
x
M(x) FQ(x)
例题 1
O
w
x
解：2．建立梁的弯矩方程
3． 建立微分方程并积分
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
例题 2
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
在支座A、C两处挠度应为零，即 x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC 段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
例题 2
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的 挠度曲线的大致形状
梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠 度曲线的大致形状
梁的连续光滑曲线
7.2 梁的小挠度微分方程及其积分
7.2.1
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
数学中的曲率公式
例题 2
已知：简支梁受 力如图所示。FP、 EI、l 均为已知。 求：加力点B的挠度 和支承A、C处的转角。
例题 2
解：1． 确定梁约束力
首先，应用静力学方法 求得梁在支承A、C二处的 约束力分别如图中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两 段建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯 矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范 围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和 荷载FP。
EI
dv1 C1 dx
EIv1 C1 x D1
EIv3 C3 x D3
2 dv2 1 dv2 EI M x C EIv M 0 x 2 C 2 x D2 EI M M 0 2 2 2 0 2 dx 2 dx
2 dv3 EI M3 0 dx2
EI
在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积 分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件 有关。 若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹 性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存 在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种 位移可以相互叠加。 本章将在本书第 4章和第5章中有关变形分析的基 础上，建立位移与杆件横截面上的内力分量以及刚度 之间的关系，进而建立弹性杆件刚度设计准则。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线 和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念， 以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采 用叠加法（superposition method）由现有的挠 度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。
7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
7.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
例题 1
w
O
x
3． 建立微分方程并积分
积分后，得到
例题 1
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
例题 1
解： 5． 确定挠度与转角方程
例题 1
解： 6． 确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度 和转角均为最大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
D2
1 ( M 0 x M 0l ) EI
EIv 2 ( l ) EIv1 ( l )
1 1 1 1 M 0 l 2 v2 ( M 0 x 2 M 0 lx M 0 l 2 ) 2 EI 2 2
EI
3 1 M0l 2 3 M 0l 2 EI 1 3 1 ( M 0 lx M 0 l 2 ) EIv 2 ( 2l ) EIv 3 ( 2l ) M 0 4l 2 C 2 2l D2 C3 2l D3 v3 EI 2 2
为
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程
微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
梁的连续光滑挠曲线 (1)
y
d 2v 1 M dx2 x EI z
x
v( x) f ( x)
第7章
梁的变形分析与刚度计算
2018年3月3日
位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。 对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。
位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形 有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处 有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横 截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约 束有关。 只要在弹性范围内加载，不管产生什么位移，杆 件均保持为连续体，并在约束处满足变形协调要求。
7.2.1
小挠度微分方程
小挠度情形下
弹性曲线的小挠度微分方程
7.2.1
小挠度微分方程
7.2.2 小挠度微分方程的积分与积分常数
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写 出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积 分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：
其中C、D为积分常数。
积分常数的确定
EIv1 C1 x D1
EIv3 C3 x D3
2 dv2 1 dv2 EI M x C EIv M 0 x 2 C 2 x D2 EI M M 0 2 2 2 0 2 dx 2 dx
2 dv3 EI M3 0 dx2
EI
d v3 C3 dx
M
FP
A B C
BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什 么会有位移？
总体变形是微段变形累加的结果;
有位移不一定有变形。
关于梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
由M 的方向确定轴线的凹凸性; 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大 致形状及位置。
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画 出梁的挠度曲线的大致形状
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2 D1＝D2 =0
例题 2
解： 5． 确定转角方程和挠度方 程以及指定横截面的挠度与转角 将所得的积分常数代入后,得 到梁的转角和挠度方程为： AB段
BC段
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别
7.3.3 叠加法应用于确定斜弯曲时的位移

7.3.1
叠加法应用于多个载荷作用的情形
7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
1 M 0l EI
•分析方法？
1 1 1 ( M 0 x 2 M 0 lx M 0 l 2 ) EI 2 2
v3
1 3 ( M 0 lx M 0 l 2 ) EI 2
梁的连续光滑挠曲线 (2)
EI
•正确答案：D
EI dv1 C1 dx
•判断梁变形后挠曲线的大致形状
2 dv1 M1 0 dx2
Q
2 dv F 2 dv2 EI 2 FP x EI 2 P x C2 dx 2 dx
x
Fp
M
x
Fp L
2 dv3 dv3 FP lx C3 EI 2 Fp l EI dx dx
EIv 3
FP l 2 x C3 x D3 2
•分析方法？
EIv1 (0) D1 0
应用举例
例题 1
已知：左端固定、右 端自由的悬臂梁承受均 布载荷。均布载荷集度 为q ，梁的弯曲刚度为 EI 、长度为l。q、EI 、l 均已知。 求：梁的弯曲挠度 与转角方程，以及最大 挠度和最大转角。
例题 1
O
w
x
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上 作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯 矩可以用一个函数描述，即无需分段。 2．建立梁的弯矩方程
d v3 C3 dx
EIv1 (0) D1 0
EI
EI
dv1 ( 0) C1 0 dx
1 0
2
v1 0
dv2 ( l ) dv1 ( l ) EI M 0l C2 0 dx dx 1 M 0 l 2 C 2 l D2 0 2
C2 M0 l
例题 2
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为 AB 段
BC 段
例题 2
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
例题 2
解： 3． 将弯矩表达式代入小 挠度微分方程并分别积分
积分后，得
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和 AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。
F
a
•解：
•离地处曲率为零
L
M ( x) 0 x EI
2L a 3
•根据变形连续条件
1
G 2 G G 2 Fa a a a 0 2L 3 2L
7.3 叠加法确定梁的挠度与转角