2、几何方程（变形协调 方程） 3、物理方程
F N1L L1 EA
F N1a 2F N 2 a 3Pa 0
L2 2L1
F N 2L L2 EA
P
FAy
L1
L2
F N 2 2F N1
3 P 5
F N1
F N2
6 P 5
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
解超静定问题的步骤：1、静力平衡；2、物理方程；3、变形协调。 例：已知E、A、L，求、杆的内力。
、静力学平衡方程 解： 1
F
1 2
x
0
A
FAx 0
P
A
a
FAx
FN1
L
m
F 0
y
FAy FN1 FN 2 P 0
0
B
a
C
a
FN 2
2、几何方程（变形协调 方程）
m
A
0 F N1 2F N2 0
FAx
FN 2
T 1
P :dxdy dW dxdyd dz ddxdydz L : dz 0 0
1
dW Pd(L) W Pd( L ) 若： p 2 0 P L 1 PL U W 则：W PL L 2EA 2 EA
1
1
dP
P
上式无论构件中应力是否均匀，只要一个方向受力即可。 dy
：称为泊松比（Simêon Denis Poisson）。
轴向拉伸或压缩时的变形
例1：等截面石柱，E、容重。 解：F N ( x) Ax
d(L ) xdx F N ( x )dx E EA
F N ( x)
L
L
d( L )
0 0
L
例2：结构如图所示，求B点的位移。已知：A1=6cm2， E1=200Gpa，A2=300cm2，E2=10Gpa，P=88.5kN。
轴向拉伸或压缩时的变形
P
L L1 L
FN A
L L1
L L
P
b b1 b
b1
b
b b
Hooke（Robert Hooke）定律：When <p，=E
FN L E：称为杨氏（Thomas Young）模量，或弹性模量。 L EA 关于横向变形： When p or
P B
1 2
4 P 解： F N1 5
3 FN 2 P 5
A
C
2 2 2 P a 16 9 FN L F L 1 1 1 N2 2 ( 3 4) P V 2EA 25 25 2 2EA 2EA
1
L1
ห้องสมุดไป่ตู้
B
V
84Pa V 25EA
H
12Pa 4 5 H ? ( V L1 ) 25EA 3 4
F N1
3 1 P 2
F N2
3 P 3
F N3
3 3 P 6
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
•温度应力：
由于结构超静定，当温度发生变化时，而不能自由膨胀所产生的应力。
1
2
L
A
a
B
a
FN1
C
线膨胀系数： 单位： 1/ oc 单位长度杆每当温度升 高1O C时的伸长量 即：L TL 解： 1 、静力学平衡方程
1400
L2 xdx 2E L E
F N ( x)
dx
A
2200
1
2
P
C
FN1L1 56.32 10 3 1.4 0.657(mm ) B L1 9 4 E1A1 200 10 6 10 FN 2 L2 104.9 103 2.22 1.42 B L1 L2 1010 3 10 4 E2A2 L2 0.912(mm ) H L1 0.657(mm ) V L2 sin ( L1 L2 cos )ctg 1.499(mm ) 2 2 H V 1.637(mm )
dU 1 u d dV 0
P
d( L )
L1
0
1
dz
dx
if p
1 u 2
d
L
L
L
dU ( d )dV
1
u
2 p 2E
回弹模量：在线弹性范围内材 料吸收能量的能力。
d 1
轴向拉伸或压缩时的应变能
例：求B点的铅垂位移和水平位移。E、A已知。AB=3a，BC=4a， AC=5a。
L3
L2
A
P
A
L1
F F 2 3F 3F N1L1 N 2 L2 N1a N 2a L 2 EA EA EA EA F L 6F a L3 N 3 3 N 3 F N1 F N3 F N2 EA EA
3、物理方程
L1 cos 30 o L3 sin 30 o L2 3L1 L3 2L2
例：三杆的E、A相同，AC=3a，求各杆的内力。 1 、静力学平衡方程 解： B C D
F
x
0
2 1
30o 60o
3
F 0
y
A
F N1
A
F N2
30o 60o
P
F N3
2、几何方程（变形协调 方程）
L1
o o F N1 sin 30 F N 3 sin 60 0 F 3F N1 N3 o o F N1 cos 30 F N2 F N 3 cos 60 P 0 3F N1 2F N2 F N3 2P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第五章
杆件变形与刚度计算
第五章 杆件变形与刚度计算
•轴向拉伸或压缩时的变形 •轴向拉伸或压缩时的变形能 •拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力 •圆轴扭转时的变形计算 •非圆截面杆扭转的概念 •挠曲线微分方程 •求弯曲变形的积分法 •求弯曲变形的叠加法 •简单超静定梁 •提高弯曲刚度的措施
解：F N1 56.32kN
F N 2 104.9kN
B
轴向拉伸或压缩时的应变能
在变形的过程中，不考虑其他能量的损耗，外力作功全部转化为固 体的应变能。即： W U P : P P dP L L : L L d(L)
P
L
P1
P
单位体积的应变变能（比能、能密度）
