高二数学（理科）下学期期末考试试卷注意：选择题答案用2B 铅笔涂在答题卡上，填空题、解答题答案写在答题卷上。

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、已知复数122,1z i z i =+=-，则21·z z z =在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、“1x >”是“2x x >”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3、在二项式6(1)x -的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A . 15-B . 15C .20-D .204、某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数200)80(221)(--=x ex f σπ，则下列命题不正确的是（ ）A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学标准差为105、某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只要随意按下2，4位上的数字，则他按对2，4位上的数的概率是（ ） A.52 B.51 C.101 D.1001 6、已知A （－1，0），B （1，0），若点),(y x C 满足=+-=+-|||||,4|)1(222BC AC x y x 则 （ ）A ．6B ．4C ．2D ．与x ，y 取值有关7、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．83208、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ） A ．66 B ．153 C ．295 D ．361二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在答题卷上）9、()_cos 451cos 3425=⎪⎭⎫ ⎝⎛++θθ的系数相等，则的展开式中的系数与展开式中已知x x x x10、在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以o 为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________________.11、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____12、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥42,3,0,0y x y x y x 下，目标函数y x z 23+=的最大值是 .13、动点P （x, y）满足|3410|x y =+-，且P 点的轨迹是椭圆，则a 的取值范围是 ．14、等差数列有如下性质，若数列}{n a 是等差数列，则当}{,21n nn b na a ab 数列时+++=也是等差数列；类比上述性质，相应地}{n c 是正项等比数列，当数列=n d 时，数列}{n d 也是等比数列。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（12分）在某年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间从192吨到3246吨，船员的数目从5人到32人.船员人数y 关于船的吨位x 的线性回归方程为ˆ9.50.0062yx =+ (1)假设两艘轮船吨位相差1000吨，则船员平均人数相差多少？(2)对于最小的船估计的船员数是多少？对于最大的船估计的船员数是多少？（保留整数）16、（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．17、（14分）求由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积.18、（14分）如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率． 附表：1000010000()0.250.75ktt t t P k C-==⨯⨯∑D CBA19、（14分）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．20、（14分）若对于正整数k 、()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(20)5g =，并且(2)()()g m g m m N *=∈,设(1)(2)(3)(2)n n S g g g g =+++（Ⅰ）求S 1、S 2、S 3 ； （Ⅱ）求n S ； （III ）设11n n b S =-，求证数列{}n b 的前n 顶和32n T <．高二数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分）：1－4 D A C B 5－8 D B C D二、填空题（每小题5分）：9、22±10、2sin ρθ= 11、11612、7 13、（5，＋∞） 14、n n C C C 21三、解答题：15、解：（1）依题意设船员平均人数相差为△y则有△y ＝yˆ1－y ˆ2＝0.0062×1000＝6.2≈6 （2）根据线性回归方程ˆ9.50.0062yx =+可得 ………………………5分 最小的船的估计船员yˆ3＝9.5＋0.0062×192≈11 最大的船的估计船员yˆ4＝9.5＋0.0062×3264≈30 ………………………11分 答：当两艘轮船的吨位相差1000吨时，船员平均人数相差6人，最小船的估计船员数是11人，最大船的估计船员人数是30人。

………………………12分16、解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<=，∴sin ∠A ；………………………6分 （2）若∠A 为钝角，则391600c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞； ………………………12分 17、解：如图，作出曲线24y x =，24y x =-的草图，所求面积为图中阴影部分的面积………3分方法一：阴影部分的面积1412(24)]S x dx =+-⎰⎰ …………8分331242201442()|(4)|33x x x x =+-+ …………………12分 9=…………………………14分方法二：阴影部分的面积 2424()24y y S dy -+=-⎰ ……………………………8分234211(2)|412y y y -=+- …………………12分 = 9 ………………………………14分18、解： 每个点落入M 中的概率均为14p =． …………………………2分 依题意知1~100004X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．…………………………4分 （Ⅰ）11000025004EX =⨯=．…………………………8分 （Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000X P ⎛⎫-<⨯-< ⎪⎝⎭，0.03410.03(24252575)10000X P P X ⎛⎫-<⨯-<=<< ⎪⎝⎭2574100001000024260.250.75tt t t C-==⨯⨯∑2574242510000100001100001000024260.250.750.250.75tt ttt t t CC --===⨯⨯-⨯⨯∑∑0.95700.04230.9147=-=．…………………………14分本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 19、解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=， …………………………2分 由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x += 得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．…………………………4分 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………7分（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，…………………………8分 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>．…………………………10分故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．……………………14分 20、解：（Ⅰ）1(1)(2)112S g g =+=+=……1分2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=……2分3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=……3分 （Ⅱ）(2)()g m g m = ，n N +∈……4分(1)(2)(3)(4)(21)(2)nnn S g g g g g g ∴=+++++-+[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++ ……5分11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-=+++……6分114n n S --=+……7分则114n n n S S ---=112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---∴=-+-++-+……8分12244442n n --=+++++14(41)12244133n n --=+=+-……9分（Ⅲ）)121121(23)12)(12(31)2(3143112+--=+-=-=-=-=n n n n n n n n S b ……10分 12233311311311311()()()()22121221212212122121n n Tn =-+-+-++--+-+-+-+ 22311311111111[1]22121212121212121n n n n --=-+-+++-+-+-+--+-+ 23131111111[1()()()]2332121212121n n n -=--------+-+-+ ……11分 ∴当1n =时，11312T b ==<成立 ……12分当2n ≥时，111111121212202121(21)(21)(21)(21)n n n n n n n n n ----------==≥+-+-+-……13分 223131111111[1()()()221212*********n n nTn -∴=-------+-+-+-+ 33122<= ……14分。