5
Answer:
(1) 由题干可知 A · β = λ · β ， 故有 A2 · β = A · (A · β ) = A · λβ = λ · (A · β ) = λ2 β ， 由此推知： Ak · β = λk · β, k = 0, 1, 2, 3... 故有 eA · β =
A λ ∞ ∑ Ak k=0 ∞ ∑ λk k=0
1 −1 (4) 由范数相容性的性质可推知：∥z ∥ = A− · ∥Af z ∥，故有： f Af z ⩽ Af

∥Af z ∥ ⩾ ∥z ∥
1 而 A− f
1 1 −1 → 0 ⩽ c ⩽ 1 Af A− f
=
√ 1 ∗ −1 λmax ((A− f ) Af ) = 1, 由此可知，c 可取的值之一为：
1/2.
4
Answer:
(1) 因为矩阵 T 所对应的变换为线性变换，由线性变换的性质可知： dimC ker(T ) + rank (T ) = dimCn = n (2) 同理，由线性变换的性质可知： dimC img (T ) = rank (T ) → dimC img (T ) − rank (T ) = 0 (3) 线性变换 T 为单射即可推知 dim ker(T ) = 0, 而由 (1)、(2) 可知 dim ker(T ) + dim img (T ) = n，故 dim img (T ) = n，即线性变换 T 为 满射，反之亦然. (4) 首先证明 ker(T ) ∩ img (T ) = 0，题中给出 ker(T ) 与 img (T ) 是正交的， 故： ∀x ∈ ker(T ) ∩ img (T ), T (x) = 0, ∃y ∈ Cs.t.x = T (y ) (T x, y ) = (X, T ∗ y ) = (x, T y ) = (x, x) = 0
0 0
Байду номын сангаас
(2) 矩阵 A 的特征值多项式为 f (λ) = λ3 − 1，令 f (A) = 0, 有 A3 = I ，则： A2016 = (A3 )672 = I, A2017 = A2016 A = A 故： 1 0 2 A2017 + A2016 + A = 2A + I = −2 1 0 0 −2 1
Theory of Matrices, WHU 2016∼2017 School Year, The 1st Semester
2018 年 1 月 15 日
1
Answer:
(1) 计算 λI − A 并对其执行初等变换后可得： 1 0 0 λ 0 −1 初等变换 0 − − − − − − → 0 1 λI − A = 1 λ 0 − 3 0 0 λ −1 0 1 λ 矩阵的行列式因子为 1, 1, λ3 − 1，不变因子为 1, 1, λ3 − 1，不变因子为
3
Answer:
(1)z 的基向量为 e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T , e3 = (0, 0, 1)T ，其经过 f 变 换后对应的基向量为： 0 −1 1 0 , f3 = 1 f1 = 1 , f2 = 1 −1 0 则 f 1 = e 1 + e 2 + 0 · e 3 , f 2 = −e 1 + 0 · e 2 − e 3 , f 3 1 −1 (f1 , f2 , f3 ) = (e1 , e2 , e3 ) 1 0 0 −1 因此所求的 Af 为： 1 −1 0 Af = 1 0 1 0 −1 1 = 0 · e1 + e2 + e3 ，故有: 0 1 1
1
2
Answer:
若 B 为正定矩阵，则 xT Bx > 0, ∀x ∈ R3 ，且有 x = 0 时，xT Bx = 0.
(1) Proof: 即 f (x) > 0, ∀x ∈ R3 ，且 f (0) = 0. 由此可证，当且仅当 B 为正定矩阵时，f (x) 只在 R3 空间上一点取得 其最小值 0. ¯ ∗ = B ∗ ，故 B 为 (2) 题中给出了矩阵 B 为实对称矩阵，由此可知 B = B Hermitian 矩阵. 有 F (B ) = {(Bx, x) ∈ C, x ∈ C3 , ∥x∥ = 1}. 由特征值的定 义可推知： Bx = λx → xT Bx = xT λx, x ∈ C3 因此 f (x) 的值域为：[λ(B )min , λ(B )max ]，即 [−1, 3].
3
故有 x = 0，所以 ker(T ) ∩ img (T ) = {0}，接下来可以证明 ker(T ) ⊕ img (T ) = Cn ： dim(ker(T ) + img (T )) = dim ker(T ) + dim img (T ) − dim(ker(T ) ∩ img (T )) = dim ker(T ) + dim img (T ) − 0 =n 由此可证 ker(T ) ⊕ img (T ) = Cn .
(2) 线性变换 f 的范数即为矩阵 Af 的范数，由题意可知所求范数定义在标 准内积空间 C 上，故所求的范数： ∥Af ∥F = sup √ ∥Af x∥ √ 4=2 = λmax (A∗ f Af ) = ∥x∥
2
(3) 由题意可知 A 的共轭转置为： 1 1 0 T −1 0 −1 AH f = Af = 0 1 1 所以线性变换 f 的伴随算子 f ∗ 为： m1 m1 + m2 m = m2 ∈ C → f ∗ (m) = −m1 − m2 ∈ C m3 m2 + m3
k!
·β =
k!
· β = eλ · β
即 e · β = e · β 得证. (2) 略
6
Answer:
略
4
λ3 − 1，由此可得矩阵的特征值为： √ ) √ ) 1( 1( λ1 = 1 , λ 2 = −1 + 3i , λ3 = −1 − 3i 2 2 故矩阵 A 的 Jordan 标准型为： 1 0 √ ) ( 1 Jordan(A) = 0 2 −1 + 3i 0 0
( 1
2
√ ) −1 − 3i