矩阵理论2017-2018学年期末考试试题
⼀、选择题 (每题5分，共25分)
1.下列命题错误的是(A)(B)若，且，则(C)设且，令，则的谱半径为1
(D)设为空间的任意⼦空间，则2.下列命题错误的是(A)若，则(B)若,则(C)若，则(D)设的奇异值分别为，，如果，则3.下列说法正确的是(A)若，则(B)若为收敛矩阵，则⼀定可逆
(C)矩阵函数对任何矩阵均有定义，⽆论A 为实矩阵还是复矩阵
(D)对任意⽅阵，均有4.下列选项中正确的是(A)且，则为收敛矩阵；
(B)为正规矩阵，则(C)，则(D)为的所有正奇异值，5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和⾏满秩矩阵，则(B)若矩阵为⾏满秩矩阵，则是正定矩阵(C)设为严格对⾓占优矩阵，，则的谱半径(D)任何可相似对⾓化的矩阵，皆可分解为幂等矩阵的加权和，即⼆、判断题(15分)(正确的打√，错误的打×)
1.若，且，，则
2.若且，则为到的值域上的正交投影
3.设都是可逆矩阵，且齐次线性⽅程组有⾮零解，为算⼦范数，则
4.，定义，则是上的范数
5.设矩阵的最⼤秩分解为，则当且仅当 ( )
(A ⊗B =⊗)H A H B H
A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E −2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim ()
V 1V 2V 1V 2( )
=A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m
x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1
A ,
B ∈
C n ×n ≥≥⋯≥>0σ1σ2σn ≥≥⋯≥>0σ′1σ′2σ′
n >(i =1,2,⋯,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2
( )A =⎡⎣⎢⎢π000π001π⎤⎦⎥⎥sinA =⎡⎣⎢⎢0000000sin 10⎤⎦
⎥⎥A E −A e A A A ,B =e A e B e A +B
( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r
√≥≥⋯≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1
( )
A B (AB =)+
B +A +
A A A H
Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,⋯,)a 11a 22a nn E −A D −1r (E −A )≥1
D −1(i =1,2,⋯,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A −)H A −∥A =n A −∥2 ( )
A ∈，G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,∀x ∈C m C m A ( )
A ,
B ∈
C n ×n (A +B )x =0∥⋅∥∥A ∥≥1B −1 ( )∀(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3−4xy x 2y 2‾
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( )
三、(10分)
设的特征值为，证明：
A =()∈a ij C n ×n ,,⋯,λ1λ2λn |≤∥A ∑i =1n
λi |2∥2F
四、(10分)(1).设为正规矩阵的特征值，证明：是的特征值；
(2).设和⾣等价，证明：
(i =1,2,⋯,n )λi A ∈C n ×n |(i =1,2,⋯,n )λi |2A A H A =(a ij )n ×n B =(b ij )n ×n |=|∑i =1n ∑j =1n b ij |2∑i =1n ∑j =1n
a ij |2
五、(10分)
设为可逆矩阵，为的任意⼀个特征值，为任意的算⼦范数，证明：
A ∈C n ×n λA ∥⋅∥≤|λ|≤1∥∥
A −1∥∥A m ‾‾‾‾‾‾√m
六、(13分)已知矩阵，(1).求矩阵的最⼤秩分解；
(2).求；
(3).⽤⼴义逆矩阵⽅法判断⽅程组是否有解？
(4).求⽅程组的最⼩范数解或最佳逼近解？(要求指出所求的是哪种解)
A =⎡⎣⎢⎢⎢⎢01−10−101−11−101⎤⎦⎥⎥⎥⎥b =⎡⎣⎢⎢⎢⎢1121⎤⎦
⎥⎥⎥⎥A A +Ax =b Ax =b
七、(10分)设，计算：(1).；
(2).A =⎡⎣⎢⎢⎢2300130130130⎤⎦
⎥⎥⎥∑∞k =0A k e At
⼋、(7分)
A∈C n×n Hermite,λ1λn A
设为矩阵，分别是的最⼤和最⼩特征值，证明：
λn a kkλ1
≤≤ (k=1,2,⋯,n)。