【区级联考】上海市嘉定区2018届高三第二次质量
调研（二模）数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知集合，，则________．
2. 已知复数满足（是虚数单位），则______．
3. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则_______．
4. 在的二项展开式中，常数项的值为_______．
5. 已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为，，的三角形，则该圆锥的侧面积为_____．
6. 已知实数，满足，则的最小值为______．
7. 设函数（其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为____．
8. 学校从名男同学和名女同学中任选人参加志愿者服务活动，则选出的人中至少有名女同学的概率为_______（结果用数值表示）．
9. 已知直线（为参数）与抛物线相交于、两点，若线段中点的坐标为，则线段的长为____．
10. 在中．已知，为线段上的一点，且满足
．若的面积为，，则的最小值为
_______．
11. 已知有穷数列共有项，记数列的所有项和为，第二项及以后所有项和为，……，第项及以后所有项和为．若是
首项为、公差为的等差数列的前项和．则当时，______．
12. 已知定义在上的奇函数满足．且当时，
．若对于任意，都有，则实数
的取值范围为________．
二、单选题
13. 已知，则“”是“”的（）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
14. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，
下列结论中正确的是（）
A．2015年第三季度环比有所提高B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高D．2018年第一季度环比有所提高
15. 已知的圆心为．过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹为（）．
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
16. 对于，若存在，满足，则称
为“类三角形”．“类三角形”一定满足（）．
A．有一个内角为B．有一个内角为
C．有一个内角为D．有一个内角为
三、解答题
17. 已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的
角为．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
18. 已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）求函数的最小正周期及函数在上单调递减区间
19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年．已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用（万元）与
隔热层厚度（毫米）满足关系：．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
（1）请解释的实际意义，并求的表达式；
（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？
20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点．
（1）求的周长；
（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若
，求点的横坐标；
（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值．
21. 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令．（1）若，写出，，，的值；
（2）设，若，求的值及时数列的前项和；（3）求证：“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”．。