（1）求系统函数H(z)及单位样值响应h[n]，并说明系统的稳定性；
（2）若系统起始状态为零，而且输入x[n] = 10 u[n]，求系统的响应y[n]。
解：（1）
差分方程两边同时进行
z变换：
Y ( z )Байду номын сангаас
z1Y ( z )
X ( z )
Y ( z )
1
H ( z )
1
z1
X ( z )
h [ n ]
信号与系统离散时间系统习题详解
8-2列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。
图题8-2
解：y[ n]b1y[ n1]b2y[n2]a0x[ n]a1x[ n1]二阶
8-3列出图题8-3所示系统的差分方程， 已知边界条件y[ 1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y[n]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。
8-20已知系统函数为H(z) =( z0.5)(10z)，分别在z> 10及0.5 <z< 10两种收敛
域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。
解：
H ( z )
9.5
1
1
z
( z
0.5)(
10
z )
z
0.5
z 10
h [ n ]
[(0.5)
n
10
n] u [ n ]
z
10
系统是因果，不稳定的。
( z
z
2
z
1
1 )2
z
Y ( z )
z
2 z
2
y ( 1 )
( z
1 )2(1
2 z1)
( z
1)( 1
2 z1)
(1
2 z1)
Y ( z )
z2
3 z
3
A
B
C
z
( z
1 )2( z
2)
( z
1 )2
( z
1 )
z
2
3
9
4
9
13
9
( z
1 )2
( z
1 )
z
2
y[n] (3n
4
13( 2)n)u[ n]
Y ( z) 0.9 z1[Y ( z)
y[ 1] z] 0.05
z
z 1
Y ( z){ 1 0.9 z
1}
0.05
z
0.9 y[
1]
z
1
Y ( z)
Y( z) z
y[ n]
0.05 z
0.9
0.05 z2
0.9 z
( z
1)(1
0.9 z
1)
(1
0.9 z
1) ( z 1)( z 0.9)
( z 0.9)
1
2n
( 2)nu[ n]
2
8-23如下各序列中，x[n]是系统的激励序列，h[n]是线性时不变系统的单位样值响应。
1
z
z
2
z
1
z
2
z
1
yzi[n]
2(2)nu[n]
(
1)nu[ n]
Yzs(z)
1
2z2
X (z)
z2
2
z
1 z12z2
z 2
z 1
z2
Yzs(z)
B1
B2
B3
2
1 2
2 3
z
z 2 z 1 z 1 z 2 z 1 z 1
yzs[n]
[2(2)n1( 1)n
3]u[ n]
2
2
8-16对于由差分方程y[ n] + y[n1] = x[n]所表示的因果离散系统：
z
2
1 z
（1）8z2
2z
2
（2）2 5z
解：
1
z2
3z
4
1 z1
1
2 z2
（3）2z2
z 1
（4）1 z1
z2
（1）收敛域为
（2）收敛域为
（3）收敛域为
（4）收敛域为
z117，包括单位圆，所以稳定。
8
zz2不包括单位圆，所以不稳定。
zz2不包括单位圆，所以不稳定。
zz1不包括单位圆，所以不稳定。
9.5 z
z2y[
2]
zy[
1]]
X ( z)
2z2X ( z)
Y( z)[1
z1
2z2]
(1
2z2) X ( z)
y[
1]
2 y[
2]
2z1Y[
1]
1
2z2
1 4z1
Y( z)
1 z1
2z2X ( z)
1 z1
2z2
Yzi(z)
1
4z1
z( z
4)
1 z1
2z2
( z 2)( z 1)
Yzi(z)
A1
A2
2
h[ n ]
(0.5)nu [ n ]
10nu [
n 1]
0.5
z
10
系统是非因果，稳定的。
8-21建立图题8-21所示各系统的差分方程，并求单位样值响应h[n]。
图
题8-21
1
1
n
解：（a）y[ n]
y[ n
1] x[n]
h[ n]
u[n]
3
3
（b）y[ n] 4 y[ n
2]
x[ n]
h[ n]
y[0] 1
（2）y[n] 5 y[n
1] n,
y[ 1] 0
解：（1）方程齐次解为：
yh[n]
C( 2)n，特解为：yp[n]
D1n
D2，代入原方程
D n D
2
2D (n 1) 2D n 2D
1, D
4
1
1
2
1
3
2
9
1n
4，代入y[0]
完全响应为：y[ n]
C
2
n
1得：C
13
3
9
9
y[ n]
13
n
1
n
4
2
3
9
9
（2）方程齐次解为：yh[ n]C( 5)n，特解为：yp[ n]D1nD2，代入原方程
D n D
2
5D (n 1) 5D n
D
1
, D
5
1
1
2
1
6
2
36
完全响应为：
y[n]
1[ 5
36
y[ n] C 5
n
1n
5，代入y[ 1]
0得：C
5
6
36
36
n 1
6n5]
8-12用单边z变换解下列差分方程。
9
9
9
8-13若描述某线性时不变系统的差分方程为：y[n]y[n1]2y[n2] = x[n] + 2x[n
2]，已知y[ 1] = 2，y[ 2] =1/2，x[n] = u[n]。求系统的零输入响应和零状态响应。
解：差分方程两边同时进行Z变换：
Y( z)
z1Y ( z)
y[
1]
2z2[Y ( z)
A
B
0.5
0.45
z
1
z
0.9
z
1
z 0.9
Z
-1
0.5 z
0.45 z
]
0.
5u[ n ]
0.45(0.9)
n
u[ n ]
[
1
z
0.9
z
（3）由差分方程得：
y (0)
2 y
(
1 )
2
y (
1 )
2
y (0)
3
2
2
差分方程两边同时进行
z变换：
Y ( z )
2 z1[ Y ( z )
y ( 1 ) z ]
（1）y[n] + 0.1y[n
1] 0.02y[n 2] = 10 u[n]，y[
1] = 4，y[ 2] = 6
（2）y[n] 0.9y[n
1] = 0.05 u[ n]，y[
1] = 1
（3）y[n] + 2y[n 1]
= (n 2) u[n]，y[0]
= 1
解： （2）差分方程两边同时进行
z变换：
（1）x[ n]
[n]
（2）x[ n]
u[ n]
图
题8-3
解：y[ n]
1
y[ n
1] x[ n]
3
1
n
（2）y[ n] (3
1(1)n)u[ n]
（1）y[ n]
u[ n]
3
2
2
3
y[ n]y[n]
1
3
2
1
01234n
01234n
8-7求解下列差分方程的完全解。
（1）y[n] 2y[ n 1] n 2,
( 1)nu [ n ]
z
z1
系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。
(2) X ( z )
10 z
1
z
z
1
Y ( z )
X ( z ) H ( z )
10 z2
5 z
5 z
( z 1)( z 1)
z 1
z 1
y [ n ]
5[1
( 1)n] u [ n ]
8-19因果系统的系统函数H(z)如下，试说明这些系统是否稳定。