【例题】圆柱体的体积公式为V 1 。d 2设h 已经测
得 dd，uc(d) h，h写出uc体(h积) 的相4 对合成标准不确定
度表达式。
解：此体积公式形如
Y f( X 1 ,X 2 , X N ) c X 1 p 1 X 2 p 2
X p N N
其中 X 1， d ，X 2 h， p 1 。2 p 2 1
得，称为估计值y 的合成标准不确定度, 记为 uc ( y) 。
间接测量量的不确定度计算（续）
对于形如 Y f( X 1 ,X 2 , X N ) a X 1 b X 2 c X 3 的函数形式（和差关系）, 合成标准不确定度 的计算方法为:
f
2
f
2
f
2
uc(y) x1u(x1) x2u(x2) x3u(x3) ...
有效数字运算规则
1.采用四舍五入法对有效数字进行取舍.
2.加减法: 结果的可疑位与参与运算数据中存疑位数量 级最高的对齐.
例如: 2.327+10.8=13.127
2.327+10.8=13.1
3.乘除法: 结果的有效数字的位数与参与运算数据中有 效数字位数最少的相同.
例如：2327×108=251316
8.35≠8.350≠8.3500。
2.有效数字的位数与被测量的大小及仪器的精密度有关。
3.第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字 开始的所有数字(包括零)都是有效数字。如 2.327kg有4位有效数字,其中7是存疑数字; 220v有3位有效数字,其中0是存疑数字; 0.002cm有1位有效数字,其中2是存疑数字; 0.00mm有1位有效数字,其中末位0是存疑数字.
电测量仪表的准确度级别 2.5级
△＝0.01mA
直接测量量的B类标准不确定度的计算（续）
直接测量量的合成标准不确定度
• A类和B类不确定度的合成标准不确度 u c ( x ：)
uc(x) uA 2(x)uB 2(x)
说明：当进行的测量只有一次时，取 uA(x) 0 则 uc(x) uB(x) 如果一个测量量的B类不确定度有多个部 分构成，则B类不确定度的合成不确定度 为 uB(x)uB 21(x)uB 22(x)...
直接测量量记数方法 3
3.米尺、指针式仪表 这类的刻度式仪器， 应估读到最小
分度值的1/10（不能 估读到0.1分度以 下）。
直接测量量记数方法 4
4. 如下图，尺子只标出整刻度和半刻度线时, 则认为 半刻度线没有标出，仍然按照3中的方式估读。因为图 中的最小分度值为1，红色部分的长度估读为1.1或1.2 都可以。
Δ=0.05mm，使用矩形分布计算标准不确定度。
u0.050.029mm k3
仪器最大允许误差（误差限）的确定方法(P.13) 1.仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准
中查到，讲义中第13页列出了几种常用仪器的示值误差 限，需要时可查阅。 2.电测量指示仪表的最大允许误差与仪表的准确度级别有 关。电测量仪表的准确度级别分为七级：0.1，0.2， 0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。由仪表的准确度级别与所 用量程可以推算出仪表的示值误差限：
k是i 包含因子，取决于测量值的分布规律。
物理实验中没有特别说明时，使用矩形分布 （平均分布）计算B类不确定度，此时 k 。3
直接测量量的B类标准不确定度的计算（续）
1. 如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确
定确度定度U为及(xi包) 含因子 时，k i则
，aB类U(标xi )准不
【例题】校准证书上u(给xi)出标kai 称 U值k(为xi i)1kg的砝码质 量 m1000.0 ，00 包32含g因子 ，（k 扩 3展）不确定度为U = 0.24 mg，由此可确定砝码的B类标准不确定度
u re l(y)u cy (y) x p 1 1u (x 1 ) 2 x p 2 2u (x 2) 2 x p 3 3u (x 3 ) 2 ...
合成标准不确定度 uc(y)yurel(y)
说明：对于被测量Y的平均值 y ，按如下方式计算：
yf(x1,x2,)
间接测量量的不确定度计算（续）
1
2
3
误差
• 概念：测量值与真值之差定义为误差，
记为 ，即 i
i xi x0
• 表示方法：绝对误差= 测量值 —真值
相对误差=
绝×对1误00差 ％
真值
• 分类：系统误差和随机误差
测量的不确定度
置信率和置信区间
• 概念：计算出最佳值（平均值）后，在最 佳值附近指出一误差区间，使测量值出现 在这个区间的次数达到一定的几率。这个 几率称为置信率（P），相应的区间称为置 信区间，区间半宽用u表示。
• 按不确定度的数值评定方式，可分为 A类不确定度——用统计方法确定的分量 B类不确定度——用其他方法确定的分量
• 说明：要计算直接测量量的不确定度，首 先要求出所有的 A类和B类分量，然后再 合成不确定度。
直接测量量的A类标准不确定度的计算
• A类标准不确定度用u ( x表) 示。
u(x)
n
(xi x)2
间接测量――――>间接测量量：
测量的分类
• 按测量条件
等精度测量：在相同的测量方法和条件 下，多次测量同一个物理量。
不等精度测量：在不同的测量方法和条 件下，多次测量同一个物理量。
说明：以后对一个量的多次测量，如果没另加说明， 都是指等精度测量。
测量值、平均值（最佳估计值）
真值：被测量物理量所具有的、客观的、真实的 量值，用x0表示。
直接测量量记数方法 1
1．游标类量具，有效数 字最后一位与游标分度 值对齐
如:1/50mm的游标卡 尺的游标分度值 0.02mm,因此,记录测量 结果时, 最后一位有效数 字应记录到1/100mm位.
直接测量量记数方法 2
2．数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、 电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。
改变了有效数字的位数 科学计数法 1 . 0 0 2 1 0 2 m 1 . 0 0 2 1 0 1 k m 1 . 0 0 2 1 0 4 c m
不改变有效数字的位数
测量的概念
• 测量就是以确定被测量对象的量值 为目的的所有操作。
• 记录下来的测量结果应该包含测量 值的大小和单位，二者缺一不可。
根据 u re l(y)u cy (y) x p 1 1u (x 1 ) 2 x p 2 2u (x 2) 2 x p 3 3u (x 3) 2 ...
体积的相对合成标准不确定度表达式为
urel(V)ucV (V) d 2uc(d) 2 h 1uc(h) 2
扩展不确定度
说明：一般来说，被测量真值落在
测量值：通过测量所获得的被测物理量的值。
平均值（最佳估计值）：在相同条件下，对某物
理量进行n次测量，这n个测量结果x1, x2, ,称xn为 一个测量列，取这n次独立测量值的算术平均
值，记为 。即x
x
1 n
n i1
xi
注：在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。当测量次 数趋于无穷，最佳值将无限接近真值。
2327×108=2.51×105
4.π、g等或者在公式中出现的常数可视为无穷多位，使 用时所取的位数不少于参与运算数据中位数最少的。
例如：V=πD2/4 =3.142 ×2.3272÷4
或者
=3.1416×2.3272÷4
对有效数字的几点说明
1.实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如 8.35=8.350=8.3500
对有效数字的几点说明
4.单位的变换不能改变有效数字的位数。如 2.327kg=2.327×10-3t=2327g=
2.327×106mg
5.实验中要求尽量使用科学计数法（小数点前仅写出一位 非零数字）表示数据。
数学上 1 0 0 . 2 m 1 0 0 2 0 c m 1 0 0 2 0 0 m m
i 1
n(n 1)
• 说明：使用此式时，测量次数n应充分多， 一般认为n应大于等于6。
直接测量量的B类标准不确定度的计算
• 如果已知被测量的测量值 x分i 散区间的半宽为a，
且落在 x至i a 区间xi 的 a概率为100%，通过 对其分布规律的估计可得出B类标准不确定度u
为：
a
u(xi ) ki
测量的分类
• 按测量方式分：直接测量和间接测量 直接测量：待测物理量的大小可以从选 定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测 量。相应的待测物理量称为直接测量量。 间接测量：待测物理量需根据直接测量的 值，通过一定的函数关系，才能计算出来 的测量过程。相应的待测量称为间接测量 量。
直接测量――――> 直接测量量：
例如：在对某物体长度测量的实验后得到，
x5.84cmP=u680%.0，3cm
表明该物体长度的测量值落在区间[5.81,5.87]的几率 为68%。
测量的不确定度
• 概念：不确定度是与测量结果相关的参数, 表示
合理赋予的被测量的测量值（列）的分散性。 用u表示，u越大表示被测量的测量值（列）的 分散性越大。
【例题】某实验的测量式为Y4X1，3X2 为X直1 , X接2 测
量量，其中
u，(x1)0.03，g u(x2)0.05g
则间接测量量的合成标准不确定度为
u c (y )(4 0 .0 3 )2 (3 0 .0 5 )2 g 0 .1 9 g
间接测量量的不确定度计算（续）
对于形如 Y f( X 1 ,X 2 , X N ) c1 的p 1 X X 函2 p 2 数 形X N 式p N （积 商关系），则先求其相对合成标准不确定度：
数据处理基础知识