co 2 x(s 2 x) e2x(2 x)
2co 2xs2e2x
(2)y.lnx3(lxn)3
解y： (lx3 n )[(xl)3n ]x13(x3)3(ln x)2(ln x)
x133x23(lnx)2
1 x
33(lxn )23[1(lxn )2]
xx
x
(B) 例12 求下列函数的导数
（1） y(5x24)31x
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f(x)cosx2(x2)x2xcosx2
练习 求下列函数的导数
(A)1. y e3x
解：y (e 3 x ) e 3 x (3 x ) 3 e 3 x
(A)2. ycosx(3)
解：y (cx 3 o ) s six 3 n (x 3 )3x2sin x3
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 ysinx()可以看作 y函 sinu数 和 ux的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
y x ' y u '• u x ' (sin u )'• ( x )' cos u cos( x )
二、举例
(A) 例1 求函数 y(3x2)5 的导数
1.2.3复合函数求导
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x a , 则 f '( x ) a x a 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
x
y u, u3x2x1 ycosu, usinx
yum, uabxn.
ysinu, u11 x
*
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 yx yuux，或 yxf(u)(x)
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 注意则： )
1
1
解：y (5x2 4)(1x)3 (5x2 4)[1(x)3]
1x0 (1x)1 3(5x24)1(1x)3 2(1) 3
1x031x1(5x24) 1 .
3
3(1x)2
例 1 求 下 列 函 数 的 导 数
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
例4 求下列函数的导数
(1)y(2x3)2
解(1： )函数 y(2x3)2可以看作 y函 u2和 数 u2x3的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
即: f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
y x ' y u '• u x ' (u 2 )'• ( 2 x 3 )' 4u 8 x 12
(2)ye0.05x1
解(1： )函数 ye0.05x1可以看作 ye函 u和数 u0.05x1的复合函数。 函根 数据 求复 导合
y x ' yu '•u x ' (e u )'•( 0 .05 x 1)' 0 .05 e u 0 .05 e 0.05 x1
log a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
(A) 例3 求函数 y cos2 x 的导
数
解：设 y u 2
ucoxs
因为 yu2u,uxsixn
所以 yx yuux 2 u ( sx i ) n 2 cx o sx is n s2 i xn
(A)2、y 求 lnsin x的导数
解：ylnu, usinx
yx yu ux (lnu)u (sinx)x 1cox s 1 cox scoxt u sixn
对于函数y f ((x)),令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
*
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y s in 2 x；
ysinu, u2x
( 2 ) y 3 x 2 x 1； (3 ) y c o s (s in x )； (4) y (a bxn)m； (5 ) y s in (1 1 ).
sin 1
(B)3. y e x
解：
y
sin1
ex
(sin1)
sin1
ex
co
s1(1)
x
xx
sin1
e x
(
1
x2
)cos1 x
1 x2
sin1
ex
cos1 x
综合运用求导法则求导
(A) 例11 求下列函数的导数 (1)y . si2 nxe2x
解y： (s2 ixn e2x)(si2n x)(e2x)
解：设 y u5
则 u3x2,
因为 yu 5u4,ux 3, 所以 yxyuux5 u 4 3 5 (3 x 2 )4 3 1(3 x 5 2 )4
(B) 例2 求函数 yln1(x2) 的导数
解：设 ylnu 则 u1x2
因为
yu u1,ux 2x,
所以 yxyuuxu 1(2x)x2 2x1