解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u 和u x 的复合函数。
根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
10
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
解
yx
1 2
(
x
e
x
)
1 2
(
x
e
பைடு நூலகம்
x
)
x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
1
(x
ex
1
) 2 (1
ex
).
2
15
练习4. 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
3
)
（3） y e2x2 3
（4） y log3(2x 1)
y' 25(5x 3)4
y' 2cos(2x )
复合函数的求导法则
1
复习:1.基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
6
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
1
3
(1 x2 )2
.
16
练习5. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
7
例1 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2 可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2 x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
8
(2) y e0.05x1
18
小结：
（1）运用复合函数求导法则的关键 在于把复合函数分解成基本初等函数或 基本初等函数的四则运算。
（2）求导后必须把引进的中间变量 代换成原来自变量的式子，熟练后可不 必写出中间变量，直接：“由外向内、 逐层求导”。
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作业：求下列函数的导数
（1） y (5x 3)5
（2） y
sin(2x
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.
11
例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
2
新课
1.复合函数现象
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) ' eu 0.05 0.05e0.05x1
9
(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
练习2. 计算(x x2 1)'. 解 (x x2 1)' x2 1 x 1 2x 2 x2 1 2x2 1. x2 1
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练习3. 设 y x ex , 求 y .
y=u2 , u=2x+1 ① y (2x 1)2
y ln u, u x 2 ② y ln(x 2) y sin u,u 3v 1, v ex
③ y=sin(3ex 1)
象①②③这样的函数就是复合函数.
3
2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f (u) 和u g(x)如果
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
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例4 设 y ln tan 2 x 求 y
解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
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若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
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练习6. 计算(sinn x sin nx)'. 解 (sinn x sin nx)' nsin n1 x cos x sin nx sin n x cos nx n
nsin n1 x(cos x sin nx sin x cos nx)
n sin n1 x sin(n 1)x.
通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个
函数为函数y= f (u) 和u g(x) 的复合函数，
记作 : y f [g(x)].
4
练习：将复合函数分解成最简单函数
(1) y 2x1 (2) y sin(ln x 1)
解 (1) y 2u , u x 1. (2) y sin u,u v 1,v ln x.