摆的研究
物理模型是实际物体的抽象和概括, 它反映了客观事物的主要因素与特征, 是连接理论和应用的桥梁. 我们把研究客观事物主要因素与特征进行抽象的方法称之为模型方法, 是物理学研究的重要方法之一. 中学物理习题都是依据一定的物理模型进行构思、设计而成的, 因此, 在解答物理习题时, 为使研究复杂物理问题方便起见, 往往通过抽象思维或形象思维, 构建起描述物理问题的模型, 使用物理模型方法, 寻找事物间的联系, 迅速巧妙地解决物理问题. 单摆就是实际摆的一种理想化物理模型，在处理问题时可以起到柳暗花明的功效，主要有以下应用。

【单摆模型简述】
在一条不可伸长的、忽略质量的细线下端栓一可视为质点的小球, 当不必考虑空气阻力的影响, 在摆角很小的情况下可看作简谐运动, 其振动周期公式可导
出为
.2g l T π=
【视角一】合理联想, 挖掘相关物理量.
例1. 试用秒表、小石块、细线估算电线杆的直径.
分析与解: 要估算电线杆的直径, 题目中没有给刻度尺, 因此, 用什么来替代刻度尺是问题的关键. 秒表、小石块似乎对测量电线杆的直径没有直接关系；若是联想到小石块可以与细线组成单摆， 秒表可用来测量时间，本题便不难解决了。

用等于n 个电线杆圆周长的细线与小石块组成单摆，用秒表测出单摆m
（30～50）次全振动所用时间t ，则单摆振动的周期
,
422
2ππg
T l g l T =⇒=电线杆的圆周长
n l L =，电线杆的直径,πL
d =有.43
2
2
πnm g l d =
【视角二】迁移与虚拟，活化模型方法.
例2. 一倾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面, 高为h ［如图1(a)］.光滑小球从斜劈的顶点A 由静止开始下滑, 到达底端B 所用时间为t 1. 如果过A 、B 两点将斜劈剜成一个光滑圆弧面, 使圆弧面在B 点恰与底面相切, 该小球从A 由静止开始下滑到B 所用的时间为t 2. 求t 1与t 2的比值.
分析与解: 当小球在斜劈上做匀加
=αsin h .2sin 1sin 211
21
g h t t g ⋅=⇒⋅αα 将斜劈剜成光滑圆弧面后. 虚拟并迁移单摆模型, 因2α ＜4°,小球在圆弧面运动时 受重力与指向圆心的弹力作 用, 这与单摆振动时的受力 ——重力与指向悬点的拉力 类似. 如图1(b)所示. 则小球 B (b)
(a)
图1
在圆弧面上的运动就是我们熟知的简谐运动. 这样能使问题化繁为简, 化难为易, 迅速找到解决问题的途径.
因为L-h=Lcos2α. 所以
αα2
sin 22cos 1h
h L =
-=
. 小球沿圆弧面从A 运动到B 的时间为单摆周期的1/4. 故
.
2sin 42412
g h g L t αππ=⋅=所以, t 1∶t 2=4∶π.
【视角三】 等效变换, 化解习题难度.
例3. 如图2(a)所示是一种记录地震装置的水平摆, 摆球m 固定在边长为L 、质量可略去不计的等边三角形的顶角A 上, 它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α,摆球可绕固定轴BC 摆动, 求摆球作微小摆动时的周期.
分析与解: 该题有多种求解方法, 若采用等效法, 能化解难度, 关键是求等效摆长, 因摆球在竖直平面内平衡, 关于轴BC 做微小振动, 将摆球所受重力作用线做反向延长, 在转轴BC 延长
线上得交点O, 取O 点为等效单摆的悬点, 则OA 为等效摆长. 在图2(b)的三角形
OCA 中运用正弦定理, 有αsin 120sin L OA =
则αsin 23L OA =故 απsin 232g L T =. 从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l 和重力加速度g 有关．在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s ，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．
物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为
“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．
C
α A B m
（a ）
C
α A
B m （a ）
图2
说明
质点振动系统的一种，是最简单的摆。

绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。

但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于10°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和l和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。

如果振动的角度大于10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。

如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。

首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述：
2动力学方程编辑
首先我们可以得到，
其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，θ是单摆与竖直方向的夹角，注意，θ是矢量，这里取它在正方向上的投影。

我们希望得到摆角θ的关于时间的函数，来描述单摆运动。

由角动量定理我们知道，
其中
是单摆的转动惯量，
是角加速度。

于是化简得到
（1）
3小角度近似周期编辑
我们知道（1）式是一个非线性微分方程。

所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

不过，在θ比较小时，近似地有sin θ ≈ θ。

（即。

）因而此时（1）式就变为
，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为
，式中A.
为任意常数，由初值条件给定。

而
于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动
一般在高考之类的考试中，认为10°以下可以这样近似。

事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。

在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。

但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。

如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。

伽利略第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。

惠更斯制成了第一个摆钟。

单摆不仅是准确测定时间的仪器，也可用来测量重力加速度的变化。

惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那，发现每天慢2.5分钟，经过校准，回巴黎时又快2.5分钟。

惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。

I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。

直到20世纪中叶，摆依然是重力测量的主要仪器。

小角近似公式和实际曲线比较
4真实周期推导编辑
上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式，但科学是严谨的，在此补充在任意角度下单摆的周期公式。

在此之前先提出两个概念（我用mathematica的定义）：
第一类不完全椭圆积分：
第一类完全椭圆积分：
下面我用微分方程进行讨论，读者可以尝试用动能定理进行计算，可以更简洁地得到其特解。

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ，那么单摆的运动公式为：
令
，于是有
上式改写成：
这是一个可分离变量的微分方程！分离变量：
其通解为
给定初始条件
（0≤α≤π），
，则其特解为：
所以考虑t（t是四分之一周期）：
设
，则
又考虑到
便可以化简得到
按照前面的定义，便有
此处的α就是常说的摆角。

5近似公式与真实值差别编辑
直观差别图如右：
利用电脑软件，我们列出近似公式与真实公式的差别。

周期差别
下面数据皆是相对误差：相对误差=（真实值-近似值）/真实值每一行，摆角相差1度，自0取到180度。