【知识点4】已知单调性求参数取值范围
1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区
间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题.
⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可
结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解.
⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负
以及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解.
例1：已知函数422()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围
例2：已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈
（I ）讨论函数()f x 的单调区间；
（II ）设函数()f x 在区间31(,)23
--内是减函数，求a 的取值范围.
例3：已知函数2()(2)ax f x ax x e =-，其中a 为常数，且0a ≥.
（I ）若1a =，求函数()f x 的极值点；
（II ）若()f x 在区间内单调递增，求a 的取值范围.
例4：已知函数32()f x ax bx =+()x R ∈的图像过点(1,2)P -，且在点P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
（II ）若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增，求实数m 的取值范围.
例5：已知函数32
()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈.
(Ⅰ)若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；
（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围.
例6：设()1x
e f x ax
=+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43
=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例7：设()2
x
e f x =，其中a 为正实数. (Ⅰ)当34
a =时，求()f x 的极值点； (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例8：设3211()232
f x x x ax =-++ (I)若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．
（II ）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163
-
，求()f x 在该区间上的最大值．
例9：已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致
(I)设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （II ）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求a b -的最大值.
例10：已知函数()3213
f x x x ax b =-++的图像在点()0,0P f （）处的切线方程为32y x =-
(Ⅰ)求实数,a b 的值；
(Ⅱ)设()1
m g x f x x =+-（）是[21,]+∞上的增函数。

（i ）求实数m 的最大值；
(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
例11：设函数()()32
6322f x x a x ax =+++． (I)若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；
（II ）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
例12：设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =
+++f ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1,4.
（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

例13：已知函数()(1)ln 15,a f x x a x a x
=++-+其中a<0,且a≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设函数()()()33223646,1,1x x ax ax a a e x g x e f x x ⎧-++--≤⎪=⎨⋅>⎪⎩
（e 是自然数的底数）。

是否存在a ，使()g x 在[],a a -上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

例14：已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.
例15： 已知函数()2()x
f x ax bx c e ＝＋＋在[]0,1上单调递减且满足()()0110.f f ＝，＝ (I)求a 的取值范围；
(II)设()()()g x f x f x '＝－，求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值．
例16：已知函数2()ln (0)f x x ax x a =-->
(I)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程； (II)若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.
例17：已知函数).0(32ln )(≠+-=a ax x a x f
(I)设1a =-，求函数)(x f 的极值；
(II)在(I)的条件下，若函数])(3
1)(23m x f x x x g +'+=(其中)(x f '为)(x f 的导 数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．。