先看特殊的情况 ,当 m = 2 时 , ai +1 - ai ≤1 即在集合 X 中取连续的 k 元子集 ,很容易得到 f 1 ( n , k)
= n - k + 1.
对于一般的情况分析如下 :
按照自然数的顺序写出 1 ,2 , …n ,并在 a1 , a2 , …ak 这些数字后面画一条竖线 , 就有且只有一个如下
k
.
特别地 ,当 m = 1 时 , ai +1 - ai ≥2 , Y 即为 X 的不含相邻整数的子集 ,
此时子集的个数 f 1 ( n , k) = ( n - k + 1) ,我们可以看出这与命题 1 的结论完全是相符的. k
命题 3 设集合 X = { 1 ,2 , …n} , m 是一个正整数 , 则距离小于 m 的 k 元子集的数 f m ( n , k) =
X1 个数
X2 个数
Xk 个数 Xk a1 ≥ m + 1 , a3 - a2 ≥ m + 1 , …, ak - ak - 1 ≥ m + 1 知 X1 ≥1 , X2 ≥ m + 1 , …, X k
≥ m + 1 , X k +1 ≥0
的图形与由 a1 , a2 …ak 形成的组合对应
1 , …… a1 , |
……, a2 , |
…… |
……ak , |
…… n
(其中 k 条竖线)
X1 个数
X2 个数
X k 个数
Xk + 1 个数 (共 n 个数) (5)
x 1 ≥1 ,
1 ≤ x2 ≤ m - 1 ,
…, 1 ≤ x k ≤ m - 1 , x k +1 ≥0
摘 要 :设集合 X = {1 ,2 , …n} ,本文给出了下列定义 :集合 X 中距离大于 m 的子集 ,距离小于 m 的 子集 ,距离等于 m 的子集 ,文中把求集合 X 的这些特殊的子集的个数转化为求相应方程的整数解的个 数 ,并且讨论了这些特殊子集个数之间存在的联系 ,其中对方程整数解个数的求解主要借助于 Ⅱ型分配 中的普母函数.
6 ( k + i) ( k - 1) ( - 1) j .
i + ( m - 1) j = n - k
i
j
证明 :任取一 k 元子集 Y ,将 Y 中的元素按照从小到大的顺序排列 , 依次记为 a1 , a2 …ak , 由题意有
ai +1 - ai ≤ m - 1 , i{ ∈1 , 2 , …k - 1} ,
0 i 1 i
∈s ∈s
, 因为
s
中不含相邻整数
, 所以在此
n 重组中没有两个 1 是相邻的. 我们不难得到 ,子集 s 与这
样的 n 重组之间的对应是 (1 - 1) 的 ,因此可用计算这样的 n 重组的个数来代替计算那些子集的个数.
在任意一个满足条件的 n 重组中都恰有 k 个 1 , ( n - k) 个 0 ,而因为任意两个 1 彼此不相邻 ,故可以
序写出 1 ,2 , …n ,并在 a1 , a2 …ak 这些数字后面画一条竖线 ,就有且只有一个如下的图形与由 a1 , a2 …ak
形成的组合相对应.
1 K K a | K K , a , | K K | K K a | K K n (其中共 k 条竖线)
1 4 2 43 1 4 2 43
1 4 2 43 1 2 3
n- k
k
+1
故 f ( n , k)
=
n - k +1 k
命题 1 中
k 是有一定的取值范围的 ,
k 只能取 0 ,1 ,2 ,
…[
n
+ 2
1
]
, 因而集合
X 的不含任何两相邻整数的子
[
n +1 2
]
6 集总数为 Fn+1 =
f ( n , k) ,显然 F0 = 1 ,表示有一个空集 F1 = 1 , F2 = (1 - 0 + 1) + (1 - 1 + 1) =
6 k+i
=
i + ( m - 1) j = n - k
i
k- 1 j
( - 1) j
证明 :任取一个满足条件的 X 的 k 元子集 Y , 将 Y 中的元素按照从小到大的顺序排列 , 依次记为 a1 ,
a2 …ak ,由题意有 a1 ≥1 , a2 - a1 ≥ m + 1 , a3 - a2 ≥ m + 1 …ak - ak - 1 ≥ m + 1. 再按照自然数的顺
Ξ 收稿日期 :2003 - 04 - 16 作者简介 :陈晶晶 (1972 —) ,女 ,讲师 ,从事基础数学教学 ;高爱平 (1972 —) ,女 ,讲师 ,从事基础数学教学. 5
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2003
年
第
5
期
沙洋师范高等专科学校学报 Journal of Shayang Teachers College
No .
5
2003
集合 X = {1 ,2 , …n}的几种特殊子集个数浅探
陈晶晶1 高爱平2 Ξ
(1 、武汉科技学院外经贸学院 ,湖北 武汉 430079 ;2 、阳江职业技术学院 ,广东 阳江 529566)
x)
- 2(1 1
xm- 1) -x
k- 1
( 7)
当 m = 2 时 , x n - k 的系数为 ( - 1) n - k = n - k + 1 这与前面的结论相符.
6 6 6 当 m = 3 时 , (7) 式 变 为 (1 - x ) - 2 (1 + x ) k - 1 =
k =0
0
1
2 , 此时 X = { 1} ,其子集为 和 X . F3 = (2 - 0 + 1) + (2 - 1 + 1) = 3 ,此时 X = { 1 ,2} ,其子集有 :{ 1} ,
0
1
{ 2} , . 不难发现 Fn +1 = Fn + Fn- 1 ,从这个递推关系式中可以知道{ Fn} 是费波拉契数列 ,{ Fn} 为 1 ,1 ,2 ,
反之 ,对应于形如 (2) 的一个图形 ,由每条竖线前面的那个数组成的集合符合命题中的要求 ,它与 (2)
相对应 ,这样的集合恰有一个. 因此两者之间的对应是 (1 - 1) 的. 形如 (2) 的图的个数是方程 X1 + X2 +
… + X k + X k +1 = n , x 1 ≥1 , x 2 ≥ m + 1 , …x k ≥ m + 1 , x k + 1 ≥0 (3) 的整数解的个数.
而方程 (3) 又与方程 y1 + 1 + y2 + ( m + 1) + …yk + ( m + 1) + yk +1 = n , Y i ≥0 (4) 同解. 方程 (4)
即为 y1 + y2 + …yk + yk +1 = n - ( k - 1) ( m + 1) - 1 , Y i ≥0 ,方程 (4) 的整数解的个数为 ( k + 1) - 1
k
,对 s 进行分类如下 :
1) n ∈ s ,则应有 1 | s , n - 1 | s. 又 | s | = k ,从而在 2 ,3 …n - 2 这 n - 3 个数中取 k - 1 个不相
邻的整数 ,由命题 1 知有 f ( n - 3 , k - 1) 种方式.
2) n | s ,又 | s | = k ,在 1 ,2 , …n - 1 个数中取 k 个不相邻整数 ,由命题 1 知有 f ( n - 1 , k) 种方式.
元全序集到[ n - ( k - 1) ( m + 1) - 1 ] + 1 元全序集的单调递增映射的个数 ,共有 ( n - ( k - 1) ( m - 1)
- 1 + 1 + ( k + 1) - 1 - 1) 个 ,故 f m ( n , k) = ( k +1) - 1
n - mk + m
把 ( n - k) 个 0 依次排列 ,然后在 ( n - k + 1) 个空隙中插入 k 个 1 ,插入方法的总数即为 n 重组的个数.
| 0 | 0 | 0 k | 0 | ( n - k) 个 0 , ( n - k + 1) 个空隙 (1)
从( n -
k + 1) 个空隙中选出 k 个来放置 1 ,选法总数为
关键词 :集合 ;子集 ;一一对应 ; Ⅱ型分配 ;普母函数 中图分类号 :O144 文献标识码 :A 文章编号 :1672 - 0768 (2003) 05 - 0005 - 03
集合 X = { 1 ,2 , …n} 的不含相邻整数的 K 元子集的个数在[1 ] 中有精确的求解 ,如果把 X 的 k 元子 集中的元素按从小到大排列依次记为 a1 , a2 , ak ,那么满足条件 ai +1 - ai > m 的 k 元子集的个数在[2 ] 的 习题中也有结论 ,但是这个结论从何而来 ,并且如果满足条件 ai +1 - ai < m 能否求出 X 的 k 元子集的个 数 ?X 的这几种特殊子集的个数之间是否有联系 ?笔者就上面的几个问题对 X 的子集进行了一些分析 ,得 出了几个初步的结果. 为了叙述的方便 ,首先给出下面几个定义.