2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】第二章 函数与基本初等函数I第02节 函数的定义域、值域及函数的解析式一、课前小测摸底细1.【教材改编】若c bx x x f ++=2)(，且0)1(=f ，0)3(=f ，则=-))1((f f （ ） A.8- B. 8 C. 32 D.292.【2014年高考安徽卷】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-3.【2014年高考江西卷】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 【答案】C【解析】由题意得02>-x x ，解得0<x 或1>x ，所以选C. 4.函数xy 416-=的值域是 . 【答案】)4,0[【解析】由已知得164160<-≤x，所以4164160=<-≤x，即函数x y 416-=的值域是)4,0[.5.已知定义域为R |{∈x x ，且}1≠x 的函数)(x f 满足1)(21)11(+=-x f x f ，则=)3(f .二、课中考点全掌握 考点1：函数的定义域 【题组全面展示】【1-1】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 . 【答案】]6,0(【解析】由题意可得:612log 0x -≥,可得61log 2x ≤，解得06x <≤. 【1-2】【2012年天津耀华中学月考】已知)(x f 的定义域为]21,21[-，则函数)21(2--x x f 的定义域为 .【1-3】【2012年天津耀华中学月考】已知函数)23(x f -的定义域为]2,1[-，则函数)(x f 的定义域为 ．【1-4】【2012年合肥模拟】若函数122)(2+-+=a ax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为________．【1-5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（文科）】函数234y x x =--+的定义域为( )A. (4,1)--B. (4,1)-C. (1,1)-D. (1,1]- 【答案】C【解析】由题意得210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，所以所求函数的定义域为(1,1)-.综合定评：当函数解析式是由两个或两个以上数学式的和、差、积、商的形式时，定义域是使各个部分有意义的公共部分的集合，要注意全面考虑问题，不逆漏.第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．【新题变式探究】【变式一】【广东省佛山市一中2014届高三10月考】函数12()ln1xf x x x =+-的定义域为 ( ) A ．),0(+∞ B ．),1(+∞ C ． )1,0(),+∞【变式二】【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．考点二：函数的解析式【题组全面展示】【2-1】已知是一次函数，并且(())43f f x x =+，求()f x .【2-2】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，且02x ≤≤时，2()2f x x x =-，则1012x ≤≤时，()f x =_________________.【2-3】已知x xf lg )12(=+，则=)(x f .【2-4】已知)(x f )是二次函数，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，试求)(x f 的表达式． 【答案】x x x f 2121)(2+=【解析】设)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 由0)0(=f 知0=c ，所以bx ax x f +=2)(， 又由1)()1(++=+x x f x f ，得1)1()1(22+++=+++x bx ax x b x a ， 即1)1()2(22+++=++++x b ax b a x b a ax ， 故有⎩⎨⎧=++=+112b a b b a ，解得21==b a ，所以x x x f 2121)(2+=. 【2-5】若函数)0()(≠+=a bax xx f ，1)2(=f ，又方程x x f =)(有唯一解，求)(x f 的解析式．综合点评：已知函数解析式的类型，一般用待定系数法求解，对含有参数的解析式，一般根据已知条件及函数的性质求出参数，从而得到其解析式. 【基础知识重温】1. 函数的表示法：解析法；列表法；图象法. 2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系. 【方法规律技巧】1.求函数的解析式的常用方法：○1代入法：如已知2()1,f x x =-求2()f x x +时，有222()()1f x x x x +=+-.○2待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.○3拼凑法：已知[()]f g x 的解析式，要求()f x 的解析式时，可从[()]f g x 的解析式中拼凑出“()g x ”，即用()g x 来表示，，再将解析式的两边的()g x 用x 代替即可.○4换元法：令()t g x =，在求出()f t 的解析式，然后用x 代替()f t 解析式中所有的t 即可.○5方程组法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的x ，得到关于[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .○6赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式. 【新题变式探究】【变式一】下列函数中，不满足)2()(2x f x f =的是( )A ．x x f -=)(B ．||)(x x f =C ．||)(x x x f -=D ．1)(+=x x f【变式二】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11xf x x =++-.（1）求函数()f x 的解析式；并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明); （2）解不等式()()22110f x f x -+-≥．考点三：函数的值域【题组全面展示】【3-1】【北京北师特学校2013届高三第二次月考】函数21y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞，则其值域是（ ） A.1(,0)(,2]2-∞ B.(,2]-∞ C.1(,)[2,)2-∞+∞ D.(0,)+∞【3-2】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试文】若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是 .【3-3】【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（文）】已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()5f -等于（ ）A.12 B.12- C.32 D.32- 【答案】A【解析】()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，()()5155cos sin 2662f f πππ⎛⎫∴-==-==⎪⎝⎭，故选A. 【3-4】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<．（1）求函数()f x 的定义域 ；（2）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．【3-5】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】已知函数[]6,2,12)(∈-=x x x f ，试判断此函数)(x f 在[]2,6x ∈上的单调性，并求此函数)(x f 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值.综合点评：1. 若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则函数)]([x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出；2.若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ，则)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈时的值域．3.求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．【基础知识重温】1.在函数)(x f y =中与自变量x 相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围.2.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 【方法规律技巧】函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b cx d =+±+型,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域2.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【新题变式探究】【变式一】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】已知函数2()21,()1xf xg x x =-=-，构造函数()F x 的定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x g x =-，则()F x ( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值【变式二】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，则a 的取值范围（ ）A.0>a 或8-≤aB.0>aC.3180≤<aD.2372318≤≤a【答案】D 【解析】方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，即sin 282(31)1x a+=+，因为1sin 1x -≤≤, 所以sin 1333x≤≤，sin 2322(31)329x ≤+≤，即3281329a ≤+≤，解得8723123a ≤≤.三、易错试题常警惕例1.已知函数(1)2f x x x +=+，求函数()f x 的解析式.例2.设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(2)(0)f f -=，(1)3f -=-，则关于x 的方程()f x x =的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411。