差分方程模型数学建模讲座一、关于差分方程模型简单的例子1. 血流中地高辛的衰减地高辛用于心脏病。
考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。
假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下：设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01−=−=∆+2. 养老金问题对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。
月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下：设第n 月的存款额为n a ，则100001.11−=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)3. 兔子问题（Fibonacci 数）设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下：==+=−−12121F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 34232143212211F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔(因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1−n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)4．车出租问题A ，B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。
A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。
分析历史记录数据得出：n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数则 +=+=++n n n nn n y x y y x x 7.04.03.06.011 (一阶线性差分方程组)(问题模型可进一步推广)二 差分方程的解法类比: 差分方程是数列间关系; 微分方程是函数间关系 定义1. 形如02211=++++−−−k n k n n n a b a b a b a L 的差分方程，称为}{n a 的k 阶常系数线性齐次差分方程，其中i b 为常数，0≠k b 且k n ≥. 02211=++++−−k k k k b x b x b x L 称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。
定理1（单根情形）若特征方程恰有k 个相异的特征根k x x x ,,,21L ，则差分方程的通解为 nk k n n n x c x c x c a +++=L 2211.例1 求解兔子问题 ==+=−−12121F F F F F n n n解：差分方程的特征方程为 012=−−x x特征根 251,25121−=+=x x 通解为 nnn c c F−+ +=25125121, 由初始条件 121==F F 得: = −++=−++)2(1251251)1(1251251222121c c c c 解得 −==515121c c 故−− +=nn n F 25121551定理 2 (重根情形) 若特征方程的相异特征根为12,,,t x x x L , 重数依次为t m m m ,,,21L , 其中k m m m t =++L 21,则差分方程的通解为：121211111211212222()()m m n n n m m a c c n c n x c c n c n x −−=+++++L L112()t t m n t t tm t c c n c n x −++++L L(定理1包含在定理2之中)定理 3 若差分方程的特征方程的特征根出现一对共轭虚根，−=+=ivu x ivu x 21 和相异的2−k 个根k x x ,,3L , 则差分方程的通解为：nk k nnnn x c x c n c n c a ++++=L 3321sin cos θρθρ.定义2 形如)(2211n f a b a b a b a k n k n n n =++++−−−L(k b b b ,,,21L 为常数，0≠k b ,0)(≠n f ,k n ≥) 的差分方程为k 阶常系数线性非齐次差分方程。
称011=+++−−k n k n n a b a b a L为其对应的齐次方程。
定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解,即n nn a a a +=*,其中*n a 为通解, n a 为特解.例2(地高辛问题)解 1.05.01+=+n n a a齐次特征方程 05.0=−λ, 齐次方程通解 n nc a )5.0(*=. 设特解为D a n =, 代入1.05.0+=D D 得0.2D =，于是所求通解为2.0)5.0(+=nnc a 例3 (养老金问题)解法1 100001.11−=+n n a a齐次特征方程001.1=−λ, 齐次方程通解nnc a )01.1(*=. 设特解为 D a n =, 代入代入原方程得 100000=D . 通解为 100000)01.1(+=n n c a .解法2(化齐) 100001.11−=−+n n a a ,100001.11−=−−n n a a .相减得001.101.211=+−−+n n n a a a , 特征方程001.101.22=+−λλ.0)1)(01.1(=−−λλ,通解为1(1.01)n n a c c =+，代入原方程得1000)01.1(01.101.11111−=−−⋅+++c c c c n n , 1100000c =.故 100000)01.1(+=nnc a . 例4 求非齐次差分方程nn n n a a a 24421=+−−−的通解. 解法1 齐次特征方程0442=+−λλ, 二重根2=λ,对应齐次方程的通解为n n n n c c a 2221*⋅+=. 因nn f 2)(=中, 2 是2 重根,故设特解为nn n A a 22⋅⋅=代入得12A =, 故通解为1221222−⋅+⋅+=n n n n n n c c a 方法2(化齐) nn n n a a a 24421=+−−−,132122)44(2−−−−⋅=+−n n n n a a a相减得12361280n n n n a a a a −−−−+−=,特征方程0812623=−+−λλλ 特征根2=λ为三重根,通解为nn n n n c n c c a 2222321⋅+⋅+=. 代入原方程得312c =,故1221222−⋅+⋅+=n n n n n n c c a三 差分方程的平衡点及稳定性1.一阶线性方程b aa a n n =+−1的平衡点及稳定性 平衡点可由b x a x =+解得abx +=10(相当于0,x a n n =∀的那种点).当初始条件00x a =, 则 0,x a n n =∀.若对任何初始条件，都有n →∞时， 0x a n →，则称平衡点0x 是稳定的，否则称为不稳定的。
一阶方程的通解aba c a nn ++−=1)(,因此1||<a 时才是稳定的. 地高辛问题1.05.01+=−n n a a ,通解2.0)5.0(+=nn c a , 0.2是平衡点，且是稳定的。
就是说，不管初始值如何，若干天以后，血中地高辛剩留量接近0.2.养老金问题 100001.11−=−n n a a ，通解100000)01.1(+=n n c a , 510是平衡点，不稳定.若01000000=⇒=c a , 则100000,=∀n a n若5010,0,a c >> 则n a →+∞若5010,0,a c << 则n a →−∞2. 二阶方程的平衡点及稳定性只须讨论齐次方程021=+−−−n n n ba aa a ; 对非齐次方程d ba aa a n n n =+−−−21(d 为常数)可作线性变换e a b n n −=化成齐次方程，稳定性相同.齐次方程通解nn n x c x c a 2211+=，平衡点为0, 21,x x 是互异特征根(或重根)，当∞→n 仅当1||,1||21<<x x 才是稳定的。
3. n 阶齐次次方程组平衡点O 的稳定性.)(n a 为n 维列向量, A 为n n ×阵。
齐次线性差分方程组 0)1()(=−+n a n a ，平衡点O 稳定的条件是A 的所有特征根||1i λ<。
4.求解n 阶齐次线性差分方程组方法: 仿照线性微分方程组解的法,注意二者的区别 1t nn n n d xx x ce d ta a a c λλλλ− ==== .汽车出租问题 全类完似的问题：选民下一次选举的投票趋势110.60.30.40.7n n nn n n x x y y x y ++=+ =+n n X X=+7.04.03.06.01 0.60.30.40.7A=汽车出租问题解法120.60.3||(0.6)(0.7)0.12 1.30.300.40.7A E λλλλλλλ−−==−−−=−+=−3.0,121==λλ 特征根互异对11=λ, 设= =′b a b a X nn 1 , 由0)(1= −b a E A λ得 03.04.0=+−b a取 = 4.03.0b a ,=′4.03.0n X 对3.01=λ, 设=′′b a X nn 3.0 由0)(2=−b a E A λ得 03.03.0=+b a取 −= 11b a ,−=′′113.0n nX 于是−=213.04.03.03.0c c X n n n 通解为 −=+=n n n n c c y c c x 3.04.03.03.02121汽车出租问题解法2(理论解法)+=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.011 =7.04.03.06.0A ，B AT T = =−3.00011,1−=TBTA , 1110n n n X TBT X TB T X −−−== 令TBAT =. 即= 3.00017.04.03.06.021212121ββααββαα 即 = ++++2121221122113.03.07.04.07.04.03.06.03.06.0ββααβαβαβαβα,取−=14.013.0T 得通解 −= −=21213.04.03.03.03.000114.013.0c c c c X n n n n 平衡点是稳定的, 平衡点由+=+=y x y yx x 7.04.03.06.0 即y x3.04.0=A 、B 两地投放车辆比为3 : 4。