2018年高考数学数列专题复习通项与前n 项和通法一、问题描述一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用n S 与1-n S 的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。

第二、求数列的前n 项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。

第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。

这是解决好数列问题的重中之重。

二、智慧笔记1. 证明等差等比数列① 等差数列的证明方法：（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ ② 等比数列的证明方法： （1）定义法：1n na q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥g 2. 通项}{n a 的求法① 累加法：数列有形如)(1n f a a n n +=+的递推公式，且)}({n f 的前n 项和可求，可利用累加法求))((211∑=--+=ni i in n aa a a a 。

② 累乘法：数列有形如n n a n f a ⋅=+)(1的递推公式，且)}({n f 的前n 项积可求，则利用累乘法求出通项))2((123121≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n a a a a a a a a a n n n n 。

③ 已知通项公式n a 与前n 项和n S 关系求通项：利用n a 和n S 的关系，若给出n S 或可以求出n S ，则可利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n a a n nn ，求n a 。

④ 辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为q pa a n n +=-1型【其中，p,q 为常数，0)1)(1(≠--q p pq 】方法为：利用待定系数法将其变形为)(1λλ+=+-n n a p a ，再设n n b a =+λ，则}{b n 即为以λ+=11a b 为首项，p 为公比的等比数列，求出}{b n 的通项公式，从而求出n a ；（Ⅱ）递推公式为11--+=n n n q pa a 型【其中p,q 为常数0)1)(1(≠--q p pq 】.方法为：先在原递推公式两边同除以n q ，得qq a q p q a n n n n 111+⋅=--，引入辅助数列}{b n （其中nn n q a b =），得qb q p b n n 11+⋅=-，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。

a,c 为常数且0≠ac ）型的数列，取倒数得n n n n aa ca b aa c ba a +=+=+11，当b a =时}1{n a 是等差数列；当b a ≠时nn n n aa c a b aa c ba a +=+=+11 ，令nn n n a b a b 1111==++，，可利用类型（Ⅰ）的方法解决。

3. 典型的求和方法① 分组求和法：数列的通项公式为n n b a +的形式，其中}{a n 和}{n b 满足不同的求和公式，常见于}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列或者}{n a 和}{b n 分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。

② 倒序相加法：讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项和公式的推导即用此方法）。

③ 错位相减法：求数列}{n n b a ⋅和}b a {nn的前n 项和，数列}{n a ，}{b n 分别为等差与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q 后，向后错一项，与原数列的和做差，即n n qS S -，然后求n S 即可。

④ 裂项相消：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。

常见的裂项相消变化有：（Ⅰ）111)1(1+-=+=n n n n a n ；（Ⅱ）)11(1)(1kn n k k n n a n +-=+=；（Ⅲ）)121121(21)12(1-21+--=+=n n n n a n ）（；（Ⅳ）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n ；（Ⅴ）n n n n a n -+=++=111；4. 几个重要考点① 方程思想：1()2n n n a a S +==1(1)2n n d na -+等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。

② 函数思想：等差数列{}n a 的前n 项的和221()()22n d dS f n n a n An Bn ==+-=+，（A 、B 是与n 无关的常数），关于n 的二次型函数，没有常数项.③ n S 的最大（小）值：方法一：不等式组思想：n S 的最大值⇔10n n a a +≥⎧⎨≤⎩,求得n的值再求n S .n S 的最小值⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，求得n 的值再求n S .方法二：利用项的单调性求解.判断哪些项为负数，哪些项为非负数，从而求n S 的最值.方法三：(函数思想)利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n 的值. n S 的最大值⇔2()n S f n An Bn ==+的最大值。

n S 的最小值⇔2()n S f n An Bn ==+的最小值。

方法四：利用差比或者商比【判定()n S f n =的单调性】(1)(1)()()f n f n f n f n ++-的差与零的关系或者的商与1的关系，从而判定()n S f n =的单调性. END三、智囊例题【例1】 【2014高考湖北文第18题理第18题】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2=n a 或24-=n a n . 【解析】试题分析：（1）设数列}{n a 的公差为d ，根据d d 42,2,2++成等比数列求得d 的值，从而求得数列}{n a 的通项公式；（2）由（1）中求得的n a ，根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式80060+>n S n 求出满足条件的的n .【例2】【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-【例3】【2015高考安徽文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T . （Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅱ）1221211)1(1-=--=--=n nn n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .例4】【2015高考山东理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 【例5】【2013浙江18理文19】在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求123||||||||.n a a a a ++++L L【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或 (Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)0||||||||2(21)2n n n n n a a a a a a a a a n n +-≥∴++++=++++=-=L L L L ②当12n ≤时, 1231231112131231112320||||||||()11(2111)(21)2()()222212202n n n n a a a a a a a a a a a a n n a a a a a a a a n n ≤∴++++=++++-+++--=++++-++++=⨯--+=L L L L L L L L L L 所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩L L四．智客习题A 组（夯实基础）时间：30分钟一、选择题（每题5分，共60分）1．(2011年福建泰宁调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9＝( )A ．2B ．4C ．8D ．162．(2011年福建泰宁调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －n 2，则a 4＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．－12 D ．－143．若数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则数列{log 2a n }是( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为lg2的等差数列 C ．公比为2的等比数列 D ．公比为lg2的等比数列 4．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为( ) A ．140° B ．120° C ．100° D ．80°5．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．66. (2011年辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．167．(2010年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－118．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( )A.12n ＋1B.1n ＋1C.n 2n ＋1D.n n ＋19. (2011年安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－1510.(2011年四川)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 11. (2010年北京)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．1212．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，若数列{}1＋a n 也是等比数列，则S n等于( )A ．2nB ．3nC ．2n ＋1－2 D ．3n －1二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，则a n ＝________.14. (2010年福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.15．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1 (n 为奇数)，n (n 为偶数)，则a 1＋a 100＝________，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝________.16．(2011年江苏)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．B 组（能力提升）时间：20分钟1. 【2015高考湖北文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．2. 【2014高考大纲理第18题】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .。