数值计算方法练习题习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？（1）；（2）；（3）（4）5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
（1）；（2）（3）；（4）8. 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,13.计算取四个选项：习题二1. 已知，求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。
3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5. 已知，求及的值。
6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。
7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
8. 下表为概率积分的数据表，试问：（1）时，积分（2）为何值时，积分？9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。
10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。
表1011. 依据数表1112. 在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。
14、给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?16、若，求和17、若互异，求的值，这里p≤n+1.18、求证19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.20、给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足22.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列.23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.24、填空题(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().(2) ,则f［1,2,3,4］=()，f［1,2,3,4,5］=().(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝()，＝().(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝()，＝()习题三1. 给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。
2. 用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。
（1）（2）3. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。
4. 在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。
设已知t与W之间的关系为，试用最小二乘法确定参数a、s。
5. 试构造点集上的离散正交多项式系。
并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。
6. 现测量长度和米、米，为了提高测量的可靠性，又测量到米。
试合理地决定长度和的值。
习题四1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。
（1）；（2）；（3）；（4）；2. 用辛甫生公式求积分的值，并估计误差。
3. 分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分：（1），8等分积分区间；（2），4等分积分区间；（3），8等分积分区间；（4），6等分积分区间。
4. 用复化梯形公式求积分，问将积分区间[ a, b ]分成多少等分，才能保证误差不超过e（不计舍入误差）？5. 导出下列三种矩形公式的项（1）；（2）；（3）提示：利用泰勒公式。
6. 用龙贝格公式计算下列积分，要求相邻两次龙贝格值的差不超过。
（1）；（2）；7. 根据等式以及当n=3,6,12时的三个值，利用外推算法求的近似值。
8. 分别用下列方法计算积分，并比较结果精度（积分准确值。
（1）复化梯形法，n = 16；（2）复化辛甫生法，n = 8；（3）龙贝格算法，求至R2；（4）三点高斯—勒让德公式；（5）五点高斯—勒让德公式。
9. 试确定下面求积分式的待定参数，使其代数精度尽可能高。
10. 已知f ( x )的值见表6-13。
用三点公式求函数在x = 1.0,1.1,1.2处的一阶导数值，并估计误差。
11. 用二阶三点公式求函数在x = 1.2处的二阶导数值（利用数表6-13）。
12. 用中点公式的外推算法求在x = 2处的一阶导数值，取h = 0.8开始，加速二次。
13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.14、用Simpson公式求积分，并估计误差15、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)16、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?17、用Romberg求积算法求积分，取.18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分.习题五1. 用列主元素法解下列方程组(1)；(2)；(3)对(1) (2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点，右下方矩阵是否对称，列主元在何处，消元过程是否符合上题结论。
2. 用追赶法解下列方程组（1）（2）3. 求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解，并用此分解法解对应的线性方程组。
4. 给定，求及。
5、用Gauss消去法求解下列方程组.6、用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.8、下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?9、用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中10、用平方根法解方程组11、设，证明12、设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数.13、设为上任一种范数，是非奇异的，定义，证明14、求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即15、是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中（1）若A对称正定,,则是上的一种向量范数（）（2）定义是一种范数矩阵（）（3）定义是一种范数矩阵（）（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（）（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵（）（7）对任何都有（）（8）若A为正交矩阵，则（）习题六1. 对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯—塞德尔迭代法时收敛？（1）；（2）；（3）；（4）；2. 试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解（取初值）3. 用雅可比迭代法解下列方程组。
（1）（2）取，并判别此迭代是否收敛？4. 用塞德尔迭代法解方程组。
取，并判别此迭代是否收敛？5.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵.6.方程组(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止.7.设方程组证明:解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.8.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?9.设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.10.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)精确解，要求当时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数.11.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?12.填空题(1)要使应满足（）.(2) 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.(3) 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.(4) 用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.(5) 给定方程组,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.习题七1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。
（1）；（2）（3）；（4）2. 方程在区间（3，4）中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。
3. 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。
（1）；（2）4. 求方程的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。
（1）（2）（3）（4）5. 考察方程有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差6. 用牛顿法求出的方程根的迭代结果见表2-6，试估计所求根的重数。
表2-67. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.8.求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) ,迭代公式.(3)，迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.9.设方程的迭代法(1) 证明对,均有,其中为方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.10．给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根.11.用Steffensen方法计算第12题中(2)、(3)的近似根，精确到12用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.(1)在=2附近的根.(2)在=1附近的根.13.应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.习题八1.已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。