一、平面的点法式方程 z
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
x
n
M
M0
y
o
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知
n { A , B , C },
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
解
(1 )
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例 7
设 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 平 面 Ax By Cz D 0
外 一 点 ， 求 P0 到 平 面 的 距 离 .
解
n
P0
N
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d
| Ax0 By0 Cz0 D | A B C
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量
n { A , B , C }.
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平面一般方程的几种特殊情况：
(1 ) D 0 ,
平面通过坐标原点；
平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴；
D 0, (2) A 0, D 0,
类似地可讨论 B 0 , C 0 情形.
n2
n1
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2

2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 , n 1 { A 1 , B 1 , C 1 },
1
n 2 { A 2 , B 2 , C 2 },
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例 4
设 平 面 与 x , y , z 三 轴 分 别 交 于 P ( a ,0 ,0 ) 、
Q ( 0 , b ,0 ) 、 R ( 0 ,0 , c ) （ 其 中 a 0 ， b 0 ， c 0 ） ，
求此平面方程.
解
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得方程
x a

y b
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例 2 求 过 点 ( 1 , 1 ,1 ) ， 且 垂 直 于 平 面 x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的 平 面 方 程 .
解
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二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax 0 By 0 Cz 0 ) 0 D
( 3 ) A B 0 , 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0 , B C 0 情形.
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例 3 设 平 面 过 原 点 及 点 ( 6 , 3 , 2 ) ， 且 与 平 面
4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解
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A1 A2

B1 B2

C1 C2
.
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例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1 ) x 2 y z 1 0 , (2) 2 x y z 1 0, (3) 2 x y z 1 0, y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
2 2 2
.
这就是点到平面距离公式
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思考题
若 平 面 x ky 2 z 0 与 平 面
2 x 3 y z 0的夹角为
4
， 求k ?
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平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
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例 1 求 过 三 点 A ( 2 , 1 ,4 ) 、 B ( 1 , 3 , 2 ) 和
C ( 0 ,2 ,3 ) 的 平 面 方 程 .
解
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M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n { A , B , C },
已知点 ( x 0 , y 0 , z 0 ).
上页下页返回结束按照两向量夹角余弦公式有
cos | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C 2
2
2
2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
(1 ) (2) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ; 1 // 2

z c
1 平面的截距式方程
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
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例 5
求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解
z
o
y
x
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三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.