所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不 断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所 研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离 散数值如日、月、季、年，其状况是有限的只有可到个 状态
马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，
由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其
3
特点是“无后效应性”
犏 犏 P 11 P 11 P 11 (k ) (0) 犏 S = S 犏 犏 犏 P 犏 11 P 11 P 11 臌
此式即为马尔可夫预测模型。
2、市场占有率预测
例 设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品， 共同供应1000家用户，各用户在各企业间自 由选购，但不超出这三家企业，也无新用户。 假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三 家企业拥有的客户分别是250户，300户， 450户，而11月份用户可能的流动情况如下：
从 甲 到 甲 230 乙 10 丙 10 ∑ 250
乙
丙 ∑
20
30 280
250
10 270
30
410 450
300
450 1000
问题： 假定该产品用户的流动按上述方向继 续变化下去（转移矩阵不变），预测12月 份三家企业市场用户各自的拥有量，并计 算经过一段时间后，三家企业在稳定状态 下该种产品的市场占有率。
2
12月份三个企业市场用户拥有量分别为： 甲： 1000? 0.306 306 户 乙： 1000? 0.246 246 户 丙： 1000? 0.448 448 户
现在假定该产品用户的流动情况按上述 方向继续变化下去，我们来求三个企业的该 种产品市场占有的稳定状态概率。 易证 P 为正规矩阵，设t = ( x, y,1- x - y) 令 tP = t ，则
解得
（x，y， 1- x - y) = ( 1 , 1 , 1 ) ? (0.50, 0.167, 0.333) 2 6 3
3、项目选址预测
某汽车维修公司在合肥有A、B和C3个维修厂。
由于公司注重对员工技术的提高，树立顾客至上、
信誉第一的理念,采用先进的管理模式。
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由于资金的原因，公ห้องสมุดไป่ตู้目前打算只对其中的
一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析 应选择哪一个维修厂。
公司在本行业具有良好的形象，形成了一定 规模的、稳定的客户群。的客户的调查显示，
矩阵中每一行的元素，代表着各企业保 持和失去用户的概率。
第三步：利用马尔科夫链模型进行预测。显 然，12月份三家企业市场占有率为
S (2) = ( S1(2) , S2(2) , S3(2) ) = S (0) P 2 轾 0.92 0.04 0.04 犏 = (0.25 0.3 0.45) 犏 0.067 0.833 0.1 犏 犏 0.067 0.022 0.911 臌 = (0.306 0.246 0.448)
正规概率矩阵： m P P 对概率矩阵 ，若幂次方 的所有元素皆 为正数，则称矩阵P为正规概率矩阵(m 2) 。 定理： 正规概率矩阵 P 幂次方P, P2 , P3 ,... 趋近于某 T 的每一行均为同一概率向量 t ，且 一方阵 T ， 满足tP = t 。
马尔可夫链模型： 设系统在k = 0 时所处的初始状态 S (0) = (S1(0) , S2(0) ,..., SN (0) )为已知的，经过 k 次转移 后所处的状态向量S (k ) = (S1(k ) , S2(k ) ,..., SN (k ) ) (k 1, 2,...) 轾 P 则 11 P 12 P 11
客户在A、B和C3个维修厂之间的转移概率为：
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甲 0 .8 0 . 2 0 p 乙 0 .2 0 0 .8 丙 0 .2 0 .2 0 .6
易证 P 为正规矩阵，设 t = ( x, y,1- x - y) 令 tP = t ，则
轾 0.8 0.2 0 犏 ( x, y,1- x - y ) 犏 0.2 0 0.8 = ( x, y ,1- x - y ) 犏 犏 0.2 0.2 0.6 臌
转移矩阵： 系统由状态 Ei 经过一次转移到状态E j 的概 率记为Pij ，称矩阵
轾 P 11 P 12 P 11 犏 犏 P 11 P 11 P 11 犏 P= 犏 犏 犏 P 犏 11 P 11 P 11 臌
为一次（一步）转移矩阵。 转移矩阵的性质：
（1） P( k ) = P( k- 1) P （2） P( k ) = Pk 其中P( k ) 为 k 次转移矩阵。
马尔柯夫链： （1）无后效性，即系统的第n次试验结果出现 的状态，只与第n-1时系统所处的状态有关， 而与它以前所处的状态无关； （2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态， 而与初始状态无关。
概率向量： 向量u = (u , u ,...u ) 称为概率向量，如果 u 满足：
1 2 n
ì u j ? 0, j 1, 2,..., n ï ï ï ï í n ï uj = 1 å ï ï j= 1 ï î 概率矩阵： 如果方阵P的每行都为概率向量，则称此方 阵为概率矩阵。
马尔柯夫链模型
张俊丽
马尔柯夫预测法
马尔柯夫（Markov）法是以俄国数学家 A· A· Markov名字命名的一种方法.它将时 间序列看作一个随机过程，通过对事物不
2
同状态的初步概率和状态之间转移概率的
研究，确定状态变化趋势，以预测事物的
未来，马尔可夫法和博克斯一詹金斯法都
是随机时间序列分析法。
马尔柯夫过程就是时间转移和状态转移的过程。马尔 柯夫链是马尔柯夫过程的一种特殊情况。马尔柯夫过程
轾 230 10 10 犏 犏 250 250 250 轾 0.92 0.04 0.04 犏 犏 20 250 30 犏 P= 犏 = 犏 0.067 0.833 0.1 犏 300 300 300 犏 犏 0.067 0.022 0.911 犏 臌 30 10 410 犏 犏 450 450 450 臌
轾 0.92 0.04 0.04 犏 ( x, y,1- x - y ) 犏 0.067 0.833 0.1 = ( x , y ,1- x - y ) 犏 犏 0.067 0.022 0.911 臌
解得 x = 0.4558, y =
0.1598
，故
( x, y,1- x - y) = (0.4558,0.1598,0.3844)
问题分析与求解 第一步：确定初始状态概率向量，这里
S (0) = ( S1(0) , S2 (0) , S3(0) ) 250 300 450 = ( , , ) 1000 1000 1000 = (0.25, 0.3, 0.45)
第二步：确定一次转移概率矩阵。此例由用 户可能流动情况调查表可知，一次转移概率 矩阵为：
1、马尔柯夫链模型简介
设考察对象为一系统，若该系统在某一 时刻可能出现的事件集合为{E1 , E2 ,..., EN }，且 E1 , E2 ,..., EN 两两互斥，则称Ei (i 1, 2,..., N ) 为 Ej Ei 到另一状态 状态。称该系统从一种状态 的过程为状态转移，并把整个系统不断实现 状态转移的过程称为马尔柯夫过程。