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流体力学第5章 平面势流理论

5.2.1 复速度和共轭复速度
平面势流的流动复势已知时,便可以对复势求导,
若复势
W(z)i
对 z 进行微分,得
y
dW iiuiv
u+iv v
dz x x y y
O
x
复势导数的实部是 轴向的速度分量 ,
导数的虚部是y轴向的速度分量 的负值,
u-iv
如图5.2所示。
图5.2 复速度
工程流体力学
dW u iv
x2 y2 4的环量和通过这一围线的流量。
【解】 平面势流具有叠加原理,将两个或更多的简单 平面势流叠加成复杂的平面势流,复杂流动的复势只须 将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。
工程流体力学
(1)解析下式:W (z)2lnz 2lnz2ln(z3)
z3
对于2lnz , 是源强度 m 4π 放置于(0,0)点的复势;
工程流体力学
2.源和汇
当将源或汇置于极坐标的原点时,复势
W(z)mlnrim


m (lnri)m (lnrlnei)


mlnrei mlnz


若源或汇置于复平面 z 0 处,则其复势
W(z)2m πln(zz0)
工程流体力学
3.环流
(1)点涡。点涡也称平面圆旋,是一团无限长的直圆 筒形流体,流体质点均绕本身的中心旋转,旋转的角速 度 ,大小是 ,方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径
y
O
x
图5.6 绕 圆 柱 体 无 环 量 流 动
图5.6 绕圆柱体无环量流动
工程流体力学
(1)当均流叠加源流,会有半无限物体的流线形状, 如图5-7(a)所示。
(2)当均流叠加等强度源汇,会有绕朗金椭圆(如 图5.7(b)所示)和开尔文椭圆(如图5.7(c)所示)的流 线形状。
-m
U0
+m U0
工程流体力学
5.1 平面势流的复势
5.1.1 复势的定义
在平面势流中,同时存在着速度势 和流函数 ,
流速场在直角坐标系中有关系式
u x y
v -
y
x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的,可以组 成一个解析复变函数
W(z)i
式中 z xiy, i 1
解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对 应一个确定的复势W(z),而一个复势也代表一种平面 势流。
【解】有以下解析式:
W ( z ) ( A B i ) l n z A l n z B il n z
对于W 1(z)Alnz是强度为m2πA的源(汇)放置于 (0,0)点的复势;
对于W2(z)Bilnz,则是强度为 2πB的点涡放置于 (0,0)点的复势。(当B0时,点涡为顺时针方向 旋转,反之则为逆时针方向旋转)
pS,max p12U02
而上,下侧点 C 和 D 处 ( 900) 压强最小:
pS,min p32U02
定义压强因数:
Cp
ps p
12U02
14sin2
圆柱表面压强分布图5.10所示。
工程流体力学
Cp 1
III 实 测 (湍 流 ) 0
III
-1 II
II 实 测 (层 流 )
-2
I
I 理想流体
2 π r
2 π r c o s i s i n
M 1 2π z
工程流体力学
若偶极子放置在 z z0 处,且偶极子中源到汇的方向 同 x 轴,则复势
W(z) M 1 2π z z0
若偶极子中源到汇的方向与 x 轴成 角,则复势
M ei W(z)
2π z - ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
工程流体力学
5.2 复速度
2.复速度积分
在平面流场中取一封闭曲线l,复速度对闭合回路l 的积分为
ld W d z (z )d z ld W (z ) l(d id ) ld ild
物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分,其实部等于沿该
曲线的速度环量
,虚部等于由内向外通过该封闭曲线
l
的体积流量 Q l。
工程流体力学
【例5.1】平面不可压缩流体势流,若流场的复势是 Waz2(a0),在原点处压强为 p 0,试求:(1)上半 平面的速度分布;(2)绘制上半平面的流线图;(3) 沿x轴的压强分布。
C
工程流体力学
y

A Bln rC
lneAlnrBC
x
lnrBeA C
Ψ c' φ c
也即
A
r C1e B
同理,等势线为
r
B
C2e A
图 5.5 平 面 涡 源 流
它们都是对数螺线,如图5.5所示。 图5.5 平面涡源流
工程流体力学
5.3 求解平面势流复势的方法
在许多情况下直接找流动的复势要比求解 和 来
vrS 0
vS 2U0sin
工程流体力学
如图5.9所示,在圆柱的前后驻点 A 和 B 上 ( 1800
和 0 0 ) 速度 v 0 ;在上下侧点 C 和 D 上 ( 900) ,速度
分别为 v m2U0,速度的大小是来流速度的两倍,是圆
柱面上最大速度点。
(2)圆柱体表面压强分布
U0
D
2U0
无穷远处来流压强为 p ,
则圆柱体表面上任意点的压强
A
B
p S 由拉格朗日方程求得:
p2U02 pS 2v2
C
2U0
图5.9 圆柱表面特殊点速度
其中
v 2U0sin

ps p1 2U02(14sin2)
工程流体力学
圆柱体表面的压强 p S 分布关于 x ,y 轴对称,前后驻点
A ,B 处 ( 180,0 0 0 ) 的压强最大 :
z 2z z 2z 3
22πi104πi

z 2 0
Qz 2 4π
由于在 x2 y2 4区域内无点涡存在,故环流的强 度为零。由于在 x2 y2 4内有强度为 4 π 的源存在,故 体积流量为 4 π 。
工程流体力学
【例5.3】某一平面势流,其流动复势为一般的对数函 数W (z)(AB i)lnz(A,B为实常数);试分解这种流 动为最简单的流动和绘制流动图形。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 (Cauchy-Riemann)条件,因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。
在平面势流中通过速度势求得流速场,并可利 用伯努利方程求得压强场,从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛,是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1.2 几种简单的平面势流复势
1.均匀直线流动(均流)
当流动速度为U 0 ,方向同x轴方向一致时,复势
W ( z ) U 0 x iU 0 y U 0 ( x iy ) U 0 z
y
若均流的 uU0 cos,v U0 sin,
U0
如图5.1所示,则复势
W(z)U0eiz
O
x
图5.1 不同方向的均流
工程流体力学
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中,当流动无旋时, 称为势流,若又可简化为平面流动时,这种流 动称为二维势流,也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ,同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程,由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程,可以应用叠加原理,利用已有的 一些解的叠加,以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
+m -m
U0
+m
(b)
(a)
(c)
图5.7 均流和源叠加(a)、均流和源、汇叠加(b)、(c)
当均流叠加偶极子组合,会有圆柱流线形成。它们 组合流场的复势为
工程流体力学
W (z)
W1 (z) W2 (z) U 0 z
M 2p
1 z
(M
0)
对于这个组合流场,只要选择适当的偶极子强度 M
和均流速度 U
-3
0
90°
180°
图5.10 圆 柱 体 表 面 压 强 分 布
图5.10 圆柱体表面压强分布
在前后驻点处 ( 1800, 0 0 ) ,C p 为最大值,即 C p 1 ; 在 900 处,C p 为最小值,即 C p 3 ;
在 300和 1500 处,C p 0 ,即该处的压强 p p0 。
得容易,本章简单介绍三种在一定条件下求解平面势流 复势的方法。
工程流体力学
5.3.1 奇点分布法
上面已经介绍了几种简单的平面势流并给出了它们 的复势,这几种简单流动称为流体力学奇点。所谓奇点 分布法:
1.绕圆柱无环量的流动
将无限长圆柱体放置在 均流中,就是绕圆柱体无环 量的流动,其流动图形如图 5.6所示。观察流线图谱可 发现以下现象:
在流场中,取一封闭的空间曲线 l,在l上取微分线段dl,如图5.3所
示 ,该处流体速度为v ,则定义
l v dl 为沿曲线l的速度环量,以 l
表示(简称环量)。
l
v dl
l
x
ludlvdywdz
z
v dl
l
O
y
图5.3 速度环量
工程流体力学
流动是势流,那么存在速度势 (x,y,z,t)
Γll xdx ydy zdzld
U0(1ar22)rcos
流线族
U0(1ar22 )rsin
y
U0(1ar22)rsinC
U0
x
如图5.8所示。
图5.8 均流叠加偶极流场
工程流体力学
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