导数及其应用测试题一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3-32t 2+2t ，那么速度为零的时刻是( )A0秒 B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末 2曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--3 若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为 A ．()0,+∞ B.()()1,02,-⋃+∞ C.()2,+∞ D.()1,0-4、（原创题）下列运算中正确的是（ ）①22()()()ax bx c a x b x '''++=+②22(sin 2)(sin )2()x x x x ''''-=-③222sin (sin )()()x x x x x''-'=④(cos sin )(sin )cos (cos )sin x x x x x x '''⋅=+ A ①④ B ①② C ②③ D ③④5、（改编题）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A.2sin y x =-B.xxe y = C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(6.(改编题)若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值围是( )A (-2,2)B [-2,2]C (-∞,-1)D (1,+∞)7设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值围是（ ）A 、13k <B 、103k <≤C 、103k ≤≤D 、13k ≤8（原创题）若函数1()()f x x x a x a=+>-在3x =处取最小值,则=a ( ) A 1 B 2 C 4 D 2 或49设函数f(x)在定义域可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）10 对于函数f(x)=x 3+ax 2-x+1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程f(x)=0一定有三个不等的实数根.这四种说法中，正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 11 函数f(x)＝12e x (sinx ＋cosx)在区间[0，2π]上的值域为( ) A[12，122e π] B(12，122e π) C[1，2e π] D(1，2e π) 12 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )D 二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 13 （原创题） 已知函数31()138,2f x x x =-+且,4)(0='x f 则=0x . 14 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是15. 已知函数()2xe f x x =-，则f(x)的图象在与y 轴交点处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为_____________.16（改编题）已知函数()xf x e ex a =-+有零点，则a 的取值围是三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （改编题）已知函数d cx bx x x f +++=2331)(的图象过点（0，3），且在)1,(--∞和),3(+∞上为增函数，在)3,1(-上为减函数.（1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 在R 上的极值.A B C D18 设函数f(x)=x+ax 2+blnx,曲线y=f(x)过P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2. （1）求a,b 的值； （2）证明：f(x)≤2x-2.19 已知c x bx ax x f +-+=2)(23在2-=x 时有极大值6，在1=x 时有极小值，求c b a ,,的值；并求)(x f 在区间[－3，3]上的最大值和最小值..20 （改编题）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>5)千元.设该容器的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r. 21 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-.【挑战能力】★1（改编题） 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导函数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.现已知32()322f x x x x =-+-,请解答下列问题:（1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标; （2）求证()f x 的图象关于“拐点”A 对称.★2设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．3 已知二次函数)(x g 对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求)(x g 的表达式；（2）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对任意21,x x []m ,1∈，恒有12|()()| 1.H x H x -<导数及其应用测试题答案一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、【答案】D【解析】.∵s ＝13t 3-32t 2+2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2-3t+2，令v ＝0得，t 2-3t+2＝0， 解得t 1＝1，t 2＝2.2【答案】C【解析】设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±， 把1a =-，代入到3()2f x x x 得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x 得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 3 【答案】C. 【解析】{}44f (x)2x 2,f (x)0,2x 20,xxx 1)(x 2)0,1x 0x 2,f (x)x x x 0,x 2.=-->-->+-><<>>>''-由条件得：令即（整理得：解得：或又因为的定义域为所以 4、【答案】A【解析】②22(sin 2)(sin )2()x x x x '''-=-；③2224sin (sin )()sin ()x x x x xx x ''-'=；，故选A5、【答案】B【解析】C 中'(1)0xxxy e xe e x =+=+>，所以x x y -=3为增函数.6.【答案】A【解析】.∵由f ′(x)=3x 2-3=0得x=±1,∴f(x)的极大值为f(-1)=2+a ， 极小值为f(1)=-2+a ，∴f(x)有3个不同零点的充要条件为2a 02a 0+>⎧⎨-+<⎩.即-2<a<2. 7 【答案】D【解析】2'()36(1)f x kx k x =+-，当0,'(4)0k f >≤；当0,'()60k f x x ==-<；0,'()0k f x <<，综合13k ≤.8 【答案】B【解析】.21()1()f x x a '=--,因为函数在3x =处有最小值,则一定有21(3)10,(3)f a '=-=-解得24a a ==或,因为x a >,所以2a =. 9 【答案】D【解析】当x<0时，f(x)单增，f '(x)>0; 当x>0时，f(x)先增后减，f '(x)的符号应是正负正，选D10 【答案】C【解析】.f ′(x)=3x 2+2ax-1中Δ=4a 2+12>0，故该函数必有2个极值点x 1,x 2，且x 1·x 2=-13<0，不妨设x 1<0,x 2>0，易知在x=x 1处取得极大值，在x=x 2处取得极小值，而f(0)=1，故极大值必大于1，极小值小于1,而方程f(x)=0不一定有三个不等的实数根.故甲、乙、丙三人的说法都正确. 11 【答案】A 【解析】.f ′(x)＝12e x (sinx ＋cosx)＋12e x (cosx －sinx)＝e xcosx ， 当0≤x ≤2π时，f ′(x)≥0，∴f(x)在[0，2π]上是增函数.∴f(x)的最大值为f(2π)＝122e π，f(x)的最小值为f(0)＝12.12 【答案】 C 【解析】.如图，设底面边长为x(x>0)则底面积S ＝2x 4, ∴h=V S =S 表＝x×3+2x 4×2=x +2x 2S ′表＝S ′表＝因为S 表只有一个极值，故x .二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 13 【答案】【解析】23'()8,2f x x =-+20003'()842f x x x =-+=∴=14【答案】36+π【解析】'12sin 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 6y π=15.【答案】16【解析】：函数f(x)的定义域为{x|x ≠2}，(x)== ．f(x)的图象与y 轴的交点为(0，-)，过此点的切线斜率k=(0)=- ． ∴直线方程为y+=-x ，即x+y+ =0 ．直线与x 轴、 y 轴的交点为(- ，0)∪(0，-) ．∴S=.16 【答案】(,0]-∞【解析】)(x f '=xe e -．由)(xf '0>得xe e -0>，∴2ln >x ．由)(x f '0<得，1x <． ∴)(x f 在1x =处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴0e e a -+≤， ∴0a ≤．∴a 的取值围是(,0]-∞三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 【解析】（1）)(x f 的图象过点)3,0(，3)0(==∴d f331)(23+++=∴cx bx x x f ，c bx x x f ++='∴2)(2 又由已知得3,1=-=x x 是0)(='x f 的两个根，⎩⎨⎧-=-=∴⎩⎨⎧=⨯--=+-∴3131231c b c b 故3331)(23+--=x x x x f （2）由已知可得1-=x 是)(x f 的极大值点，3=x 是)(x f 的极小值点=∴极大值)(x f 314)1(=-f =极小值)(x f 6)3(-=f18 【解析】(1)f ′(x)=1+2ax+b x.由已知条件得()()f 10f 12=⎧⎪⎨'=⎪⎩，即1a 012a b 2+=⎧⎨++=⎩.解得a=-1,b=3.（2）f(x)的定义域为（0，+∞）， 由(1)知f(x)=x-x 2+3lnx.设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x 2+3lnx,则g ′(x)=-1-2x+3x=-()()x 12x 3x -+.当0<x<1时，g ′(x)>0;当x>1时，g ′(x)<0.所以g(x)在（0，1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减. 而g(1)=0, 故当x>0时，g(x)≤0, 即f(x)≤2x-2.19 .【解析】：（1）,223)(2-+='bx ax x f 由条件知 .38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(===⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得（2）,2)(,3822131)(223-+='+-+=x x x f x x x x f由上表知，在区间[－3，3]上，当3=x 时，,6110max =f 1=x 时，.23min =f 20 【解析】（1）因为容器的体积为803π立方米, 所以324r r l 3π+π=803π，解得l =2804r 3r 3-， 由于l ≥2r,因此0<r ≤2. 所以圆柱的侧面积为2πr l =2πr(2804r 3r 3-)=21608r 3r 3ππ-, 两端两个半球的表面积之和为4πr 2, 所以建造费用y=160rπ -8πr 2+4πcr 2, 定义域为(0,2］. （2）因为y ′=-2160r π-16πr+8πcr =()328c 2r 20r π--［］,0<r ≤2,由于c>5,所以c-2>0, 所以令y ′>0得令y ′<0得当c>5时,即时, 函数y 在(0,2)上是先减后增的， 故建造费最小时21 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=,11ln xx x ++所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--x x x x x f x x 1ln 2111ln )(22考虑函数 则h ′(x)=()()xx xx x x 222221122--=---所以x ≠1时h ′(x)＜0而h(1)=0故 x ()1,0∈时h(x)>0可得ln ()1xf x x >-, x ()∞+∈，1h(x)<0可得ln ()1xf x x >-,从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-.【挑战能力】1 【解析】（1）2()362f x x x '=-+，()66f x x ''=-.令()660f x x ''=-=得1x =， 3(1)13222f =-+-=-.∴拐点(1,2)A -（2）设00(,)P x y 是()y f x =图象上任意一点，则320000322y x x x =-+-，因为00(,)P x y 关于(1,2)A -的对称点为00(2,4)P x y '---，把P '代入()y f x =得左边04y =--32000322x x x =-+--,右边32000(2)3(2)2(2)2x x x =---+--32000322x x x =-+--∴右边=右边00(2,4)P x y '∴---在()y f x =图象上∴()y f x =关于A 对称2 【解析】（Ⅰ）：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，是减函数，在(2)+，∞是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． 3【解析】。