福州一中2013—2014学年第二学期开学初试卷
高三数学文科 试卷
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的）
1. 设1i z =-（i 是虚数单位），则复数
2
3i z
+的实部是 ( )
A ．
32 B C ．12- D ．12
3. 已知函数3
2
2
()3(1)1(0)f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是(0, 4), 则
m =( )
A. 3
B. 13
C. 2
D. 1
2
【答案】B
【解析】
5. 如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计
图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 ( ) A． 85，84 B． 84，85
C． 86，84 D． 84，86
图1
6. 在△ABC 中，BC=1，∠B=
3
π
,△ABC 的面积S=3，则sinC= （ ）
A.
13
13 B.
5
3
C.
5
4
D.
13
39
2
7. 若函数tan ,0()2
(1)1,0x x f x a x x π⎧
-<<⎪
=⎨⎪-+≥⎩
在(,)2π-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A.(0,1]
B.(0,1)
C.[1,)+∞
D. (0,
)+∞
8. 将函数sin 2y x =的图像向右平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应
的
解
析
式
为 ( )
A.sin(2)14
y x π
=-+ B.22cos y x = C.22sin y x = D.cos 2y x =-
【答案】C 【解析】
10. 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是
(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆， 借助墙角围成一个矩形的
共圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为Sm 2
，S 的最大值为()f a ，若将这棵树围在花圃中，则函数()u f a =的图象大致是（ ）
的图像是递减的，故选C.
考点：1.阅读理解清题意.2.二次函数的最值问题.3.含参数的最值的求法.
11. 已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，
满足212PF F F =，直线1PF
与圆222
x y a +=相切，则该双曲线的离心率为（ ） A.
32 B.43 C.5
3
D. 2
12. 已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =； ③()sin cos f x x x =+；
④2()1
x
f x x x =++； ⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均
有
1212
()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为
（ ）
A ．①②④
B ．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
考点：1.新定义的问题.2.不等式恒成立问题.3.函数的最值.4.假命题的证明方法.5.特值法的思想.
二．填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）
13. 已知4
sin ,(,0)5
2
x x π
=-∈-
，则tan 2x = .
15. 已知实数,x y满足约束条件
20
250
20
x y
x y
y
--≤
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪-≤
⎩
，则
x y
z
x
+
=
的最小值是____________.
16. 对于集合},,,{21n a a a A = (n ∈N*，n ≥3)，定义集合{|,1i j S x x a a i ==+≤
}j n <≤，记集合S 中的元素个数为S(A).（1）若集合A ＝{1，2，3，4}，则S(A)＝______.
（2）若a 1，a 2，…，a n 是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ _____ (用含n 的代数式表示).
三. 解答题: (本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算
步骤)
17. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：2414a a +=，770S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设248
n n S b n
+=
，数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值．
18. （本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴的交点为()0,1， 它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()
()0,022,2.x x π+-和 （I ）求()f x 的解析式及0x 的值；
（II ）若锐角θ满足()1cos 43
f θθ=，求的值.
【答案】（I ）1
()2sin()2
6
f x x π
=+
，024()3x k k z ππ=
+∈；（II
19. （本小题满分12分）
甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（Ⅰ）求甲赢且编号和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】（I ）
1
5
；（II ）不公平.理由参考解析
【解析】
试题分析：（I ）因为游戏规则是编号分别为1，2，3，4，5五个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，
20. （本小题满分12分）
如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面,ABCD F 是DC 的中点，2AE EP =.（Ⅰ）试判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，并予以证明；
（Ⅱ）若四棱锥P ABCD -体积为8
3
， CD =，2PC BC ==，求证：平面BDE PBC ⊥面.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知点P 的坐标为P(－4,0), 过P 点的直线L 与椭圆C 相交于M 、N 两点,当线段MN 的中点G 落在正方形内(包含边界)时,求直线L 的斜率的取值范围.
【答案】（I ）22184x y +=；（II ）11[,]22
-
22. (本小题满分14分）
已知函数2()ln f x x a x =+的图像在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10.
(I)求实数a 的值;
(II)判断方程()2f x x =根的个数,并证明你的结论;
(III)探究: 是否存在这样的点(,())A t f t ,使得曲线()y f x 在该点附近的左、右两部分
分别位于曲线在该点处切线的两侧? 若存在,求出点A 的坐标;若不存在,说明理由.
部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
考点：1.函数求导.2.函数与方程的根的关系.3.构建新函数的思想.4.正确理解题意建立函数解题的思想.5.分类猜想等数学思想.。