4.2.2 对数运算法则自主预习复习回顾问题1 对数的定义及性质有哪些?问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗?问题3 指数的运算法则有哪些?课前自测1.用分数指数幂的形式表示下列各式. (1)√x 23= ;(2)1a3= ;(3)√x√3= .2.用对数的形式表示x. (1)10x =25;(2)5x =6;3.求值. (1)log 218;(2)log 48;(3)lg 1+lg 10+lg 100.4.解方程. (1)log 7(log 3x )=1;(2)(12)x 82x =4.课堂探究探究一 对数的运算法则 【证明运算法则一】log a (MN )=log a M+log a N ,a>0且a ≠1.请同学们写出探究结论: (1) (2)(3)探究二 运算法则的应用例1 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a 2√y√z3.例2 求(lg 2)2+lg 20×lg 5的值.探究三 证明、应用换底公式阅读课本第22~23页,讨论公式的证明并解决问题. 例3 求log 89×log 2732的值.变式训练 求log 2125×log 38×log 519的值.课堂练习(1)已知3a =2,用a 表示log 34-log 36.(2)已知log 32=a ,3b =5,用a ,b 表示log 3√30.课堂小结(1) (2)核心素养专练【作业A 】基础练习 练习A 第4,5题. 练习B 第3,4,5题. 【作业B 】提升练习 限时20分钟完成. 1.化简求值.(1)-log 2log 2√√√2;(2)log 48-lo g 193-lo g √24;(3)log 43log 925log 58;(4)(log 25+log 415)(log 52+log 2512).2.已知log 189=a ,18b =5,则log 3645= .(用a ,b 表示)3.设3a =4b =36,求2a +1b的值.参考答案自主预习复习回顾:略 课前自测:1.(1)x 23 (2)a -13 (3)x 12y -23 2.(1)x=lg 25 (2)x=log 56 3.(1)-3 (2)32(3)3 4.(1)x=37 (2)x=25课堂探究:略例1 (1)log a x+log a y-log a z (2)3log a x+5log a y(3)2log a x+12log a y-13log a z例2 原式=(lg 2)2+(2lg 2+lg 5)·lg 5=(lg 2)2+2lg 2·lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=1. 例3 log 89×log 2732=lg9lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=109. 变式训练 12 课堂练习 1 (2)12a+b 2+12课堂小结核心素养专练作业B 1.(1)3 (2)-2 (3)32 (4)142.a+b2-a3.a=log 336=lg36lg3,b=log 436=lg36lg4,则2a +1b =2lg3lg36+lg4lg36=lg(32×4)lg36=1.学习目标1.通过对数运算法则的推导,培养逻辑推理的核心素养.2.通过对数运算法则的运用,培养数学运算的核心素养.自主预习认真阅读课本第20~23页,做好预习笔记. 1.积、商、幂的对数 对于a>0且a ≠1,M>0,N>0, 积的对数log a (MN )=log a M+log a N.真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 商的对数log a M N=log a M-log a N. 幂的对数log a M n =n log a M. 2.换底公式 log a b=log c blog c a,a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.课堂探究一、积、商、幂的对数请同学们判断一下几组数是否相等? (1)lg 100+lg 0.1与lg (100×0.1); (2)log 28+log 24与log 232.1.你知道log 63与log 62的值吗?你能算出log 63+log 62的值吗?如果设x=log 63,y=log 62,则6x = ,6y = ,怎样由这两个式子得到x+y ?2.由指数运算的法则a αa β=a α+β能得出对数运算具有什么运算法则?一般地,设a α=M>0,a β=N>0,则有log a M=α,log a N=β.由a α+β=a αa β=MN. 可知log a (MN )=α+β,代入α与β的值,有log a (MN )=log a M+log a N.(积的对数=对数的和)真数为有限多个正因数相乘的情形,即log a (N 1N 2…N k )=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . 特别地,当正因数全部相等时,可得log a N k =k log a N (正数的k 次方的对数=正数的对数的k 倍),其中k 是正整数. 我们还可以由(a β)α=a β×α得出log a M α=αlog a M ,其中α为任意实数(证明留作练习).例如, lg 0.001=lg 10-3=-3lg 10=-3. 另外,由上面两个结论可知log a M N=log a (MN -1)=log a M+log a N -1=log a M-log a N.(商的对数=对数的差) 例1 log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式. (1)log a xy z;(2)log a (x 3y 5);(3)log a 2√yz3.例2 计算下列各式的值. (1)lg 4+lg 25;(2)lg √1003;(3)log 2(47×25);(4)(lg 2)2+lg 20×lg 5.二、换底公式我们能不能借助lg 3和lg 5求出log 35的值呢?一般地,我们有 log a b=log c blog c a, 其中a>0且a ≠1,b>0,c>0且c ≠1.这一结果通常被称为换底公式. 换底公式及常用的推论 (1)log a b=log c blog c a (a>0且a ≠1,c>0且c ≠1,b>0)叫做换底公式.(2)由换底公式可得两个结论:①lo g a m b n =n m log a b ;②log a b=1log ba (或log ab ·log b a=1). 例3 求log 89×log 2732的值.例4 求证lo g a t b s =s tlog a b ,其中a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0.三、对数式的化简求值例5计算下列各式的值.(1)12lg 3249-43lg√8+lg√245;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.对数式的化简求值这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值.课堂练习一、积、商、幂的对数1.计算下列各式的值.(1)log26-log23;(2)lg 5+lg 2;(3)log53-log513;(4)log35-log315;(5)ln√e;(6)lg 100-2.2.已知3a=2,用a表示log34-log36.二、换底公式3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3√30.4.已知lg 2≈0.301 0,求lg 5的近似值(精确到0.000 1).三、对数的运算法则5.计算:log54×log85.6.化简:√(log35)2-4log35+4.核心素养专练1.求下列各式的值.;(1)lg 0.001-log271814;(2)log48+lo g123.(3)log7√492.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,证明log a Mα=αlog a M;.(2)由对数的定义证明换底公式log a b=log c blog c a3.计算(lg5)2+lg 2×lg 50的值.4.求证log x y×log y z×log z x=1.5.比较log62与log63的大小.6.化简lg 5×lg 8 000+(lg2√3)2+lg 0.06-lg 6..7.化简2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8参考答案自主预习课堂探究课堂练习(2)1 (3)2 log 53 (4)-1 (5)12(6)-42.由3a =2,可知a= log 32,因此原式=log 346=log 323= log 32-1=a-1. 3.log 3√30=12log 330=12(1+a+b ) 4.lg 5=1-lg 2≈1-0.301 0=0.699 0 5.236.2-log 35 核心素养专练1.(1)-53(2)-12(3)232.(1)设a β=M ,则β=log a M ,所以log a M α=log a (a β)α=log a a β×α=α×β.把β=log a M 代入,即可得log a M α=αlog a M.(2)设对数log a b=x ,则a x =b ,且a=√b x,于是c log c a =√b x,则c xlog c a =b ,两边取以c 为底的对数得x log c a=log c b , 则x=log c blog c a,即log a b=log c blog c a. 3.14.左边=lgy lgx ×lgz lgy ×lgxlgz=1=右边 5.log 62<log 636.17.1。