对数及对数函数
一、教学目标
1．对数及对数运算性质 2．对数函数 3．对数换底公式 二、考点、热点回顾
1．对数及对数运算性质 （1）对数概念
由对数的定义，N b N a a b
log =⇔=. 但是应注意其中的字母必须满足条件：
.0,1,0>≠>N a a
（2）对数恒等式
由对数定义，当1,0≠>a a 时，若N a b
=，则N b a log =，因此有N a
N
a =log .等式a a N a =log 叫
做对数恒等式.
（3）对数的运算性质
;log log )(log N M MN a a a += N M N
M
a a a
log log log -=； M n M a n
a log log =.
必须注意上述运算性质的条件是0>a ，且.0,0,1>>≠N M a 应避免发生下列错误：;log log )(log N M MN a a a ⋅= N
M N M a a a
log log log =； N M N M a a a log log )(log ±=±； M n M a n
a log )(log =.
(3)如果把运算分等级，“加”、“减”为一级运算，“乘”、“除”为二级运算，“乘方”、“开方”为三级运算，则通过取对数，可以把运算降低一个等级，即把二级运算转化为一级运算，把三级运算转化为二级运算.
例1 计算下列各式的值：
（1）128log 8； （2）81log 27 （3）81log 3
3
； （4）)32(log )
32(+-
例2 求下列各式中x 的值：
（1）()1)123(log 2122=-+-x x x ； （2）0)](log [log log 345=x .
例3 计算：（1）;3272log
3272log
2
2
-++ （2）
2
lg 72.0lg 22
lg 23lg +++；
（3）5lg 9lg 4lg -+. （4771.03lg ,3010.02lg ==）
例4 已知 6321243==y x
，求
y
x 2
3+的值.
例5 已知关于x 的函数a x a x x f lg 84lg )(2
+-=有最大值4，求实数a 及)(x f 取得大值时x 的值.
例6 已知x 、y 、z ()()+∞∈,11,0Y ，且.0lg lg lg =++z y x
y
x=a
1
y=log x
y=lgx
x
图12-1
y=log x 2
2
1
求 y
x x
z z
y z y x lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅的值.
2．对数函数
对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且是指数函数x
a y =的反函数.
由指数函数的性质，对数函数x y a log =的定义域是),0(+∞，值域是),(+∞-∞.对数函数的图像可以由指数函数的图像及互为反函数的函数图像的关系得到.对数函数的性质，可以通过三条曲线：x y 2log =，x y lg =，x y 21log =的图像
来记忆.
由图12—1 可见，函数x y a log =和x y a
1log =的图像关于x 轴
对称，实际上，x x y a a
log log 1-==.当1>a 时，对数函数的底数越
大，它的图像在第一象限部分越“靠近x 轴，”在第四象限部分越“靠近y 轴”.因此当10<<a 时，对数函数的底数越小，它的图像在第四象限部分越“靠近x 轴”，在第一条象限部分越“靠近
例7、 求函数)45(log )(2
2
1x x x f -+=
例8 已知),1,0(1
)(≠>-=a a x
x a f x
求函数y=f(x)的单调区间.
例7、 已知0<a<b<1,比较a b a b b
a
b a 11log ,log ,log ,log 的大小.
3．对数换底公式
（1）设x N g b =lg ，则N b x
=.两边取以a 为底的对数，得,log log N b a x a =
.log log N b x a a =
)0,1,0,1,0.(log log log >≠>≠>=
=∴N b b a a b
N
x N a a b .
该式子叫对数换底公式，运用该公式可以把b 为底的对数转换成关于以a 为底的对数的式子. （2）运用对数运算性质的前提是几个对数的底数必须相同，因此在对数运算中凡遇到不同底数的对数，通常先要用对数换底公式化为同底数的对数.
（2）运用换底公式还可以得到几个常用的式子：
;log log N N
a p
a p = ;log 1
log a
b b a =
;log log 1N N a a
-= N p
q
N
a q
a p log log =
.
例10 求值：
（1）；32log 9log 2716⋅ (2)).8log 4(log )3log 9(log 812748+⋅+
例11求证：
.237
log 1
37log 237log 3752>++
DSE 金牌数学专题系列 第 讲 过手训练 姓名： （快速五分钟，稳准建奇功）
1、 已知),0)(4(log )3(log 31212>+=y y
y x
则x 的值是（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、3
2、3log 2
1
122
-的值等于 （ ）
A 、
3
2 B 、32 C 、
33
2
D 、2 3、已知βα、是方程05lg 3lg lg )5lg 3(lg lg 2
=⋅+++x x 的两个实根，则βα+等于（ ） A 、3lg 5lg -- B 、3lg 5lg + C 、
151 D 、15
8 4、设,3,2
1
log ,)21(21
33===c b a 则a,b,c 的大小关系为 （ ）
A 、b<a<c
B 、b<c<a
C 、a<b<c
D 、a<c<b 5、函数x y 2
1log 2+=的反函数是 （ ）
A 、)(22R x y x
∈-= B 、)()21(2R x y x
∈=-
C 、)(22R x y x
∈=- D 、)(2)2
1(R x y x ∈-=
6、函数)134(log 23
1+-=x x y 的值域是（ ）
A 、[-3，∞+]
B 、R
C 、（2,-∞-]
D 、（9,∞-] 7、已知,2219.1lg ,4771.03lg ,3010.02lg -===x 则x=______________________. 8、已知,632
236z y x
==则x 、y 、z 之间的关系是_________________________.
9、=-++)347347(log 2_____________________________. 10、函数)](log [log log 3
13
13
1x y =
的定义域是_______________________________.
11、已知集合A={a,ab,)(log 2ab },B={0,|a|,b},且A=B,求实数a,b 的值.
12、已知z
y
a a a y a
x log 11log 11
,--==(a>0,且1≠a )，求证：x
a a
z log 11-=.
13、已知0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 55
1533
1322
12===z y x ，比较实数x,y ,z 之间的大小
关系.
14 、已知,03log 5log 22
12
2
1<-+x x 求函数)4
(log )8(log )(2
12
x x x f ⋅=的值域.。