概率论
11、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头停泊.它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求这两艘船都不等候码头的概率. 解：
分别用x、y表示甲、乙船到达时刻，在直角坐标系下作直线x=24、y=24，它们与x轴及y轴围成一个正方形，点(x,y)总是落入这个正方形的；
作直线y=x+1与y=x-2，如果点(x,y)落入两直线所夹以外区域就不需要等待，所以不需要等待的概率为：
p=(22*22/2+23*23/2)/(24*24)=1013/1152≈0.879340277777778
25、已知男人中5%是色盲患者，女人中有0.25%；今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？
解：
可以算出色盲的人占总人数的比率是5%x50%+0.25%x50%=2.625%，而在2.625%的人中，男的占5%x50%，所以是男的几率为5%x50%除以2.625%=20/21
第一章随机事件与概率
1．设A，B，C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪俩个事件是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；４）至多有两个事件发生；５）三个事件都不发生；６）恰好两个事件发生。
用a,b,c分别表示A,B,C的补事件,那么有
1)
abC∪aBc∪Abc
2)
1-abc
3)
ABC
4)
1-ABC
5)
abc
6)
ABc∪AbC∪aBC
其中(2)和(5) (3)和(4) 是互逆事件
2．设对于事件A，B，C，有P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求A、B、C至少出现一个的概率。
因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，所以P（A+B+C）=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=5/8
3．设A，B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求P（AB(—)）。
因为P(A-B)=P(A)-P(AB),
所以P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.3=0.4
4．若事件A、B满足P（AB）=P（A(—)∩B(—)），且P（A）=1/3，求P（B）。
P(AB)=P（非A∩非B）
=P[非（A∪B）]
=1-P(A∪B)
=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]
整理得P(A)+P(B)=1
P(B)=1-P(A)
=2/3
5．一个袋中有5个红球2个摆球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。
求：1）第一次和第二次都取到红球的概率；2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。
(1)、5/7*5/7=25/49, (2)、5/7*2/7=10/49
6．一批产品有8个正品，2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
求：1）两次都取到正品的概率；2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；3）第二次取到次品的概率；4）恰有一次取到次品的概率。
1)取到两个正品有56种取法 10个中取2次有90种取法 56/90=28/45
2)同理，8*2/90=8/45
3)(8*2+2*1)/90=1/5
4)(8*2+2*8)/90=16/45
7．长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10，求：P（A|B），P（B|A），P（A∪B）。
8．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。
由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。
2/3*2/4+1/3*1/4=5/12
9。
某专科医院平均接待K型病人50%，L型病人30%，M型病人20%，而治愈率分别为7/10，8/10，9/10。
今有一患者已治愈，问此患者是K型病人的概率是多少？
分子：50%*7/10
分母：50%*7/10+30%*8/10+20%*9/10
=35%/(35%+24%+18%)=5/11
10．若P（A|B）=P（A|B(—)），证明事件A与事件B相互独立。
证明:
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(A|B(—))=P(AB(—))/P(B(—))=[P(A)-P(AB)]/[1-P(B)]
因为P(A|B)=P(A|B(—))所以
P(AB)/P(B)=[P(A)-P(AB)]/[1-P(B)]
P(AB)[1-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B)
P(AB)-P(AB)P(B)=P(A)P(B)-P(AB)P(B)
所以P(AB)=P(A)P(B)
所以事件A与事件B相互独立
回答人的补充2010-01-07 07:19
11．对某一目标进行射击，直到击中为止。
如果每次射击命中率为p，求射击次数的分布率。
1次 p
2次 (1-P)P
3次 (1-P)(1-p)P
4次...........
所以
N次 (1-P)^(N-1)*P
12．已知Xi（i=1，2）的分布函数为Fi（x）。
设是某一随机变量的分布函数，求常数a。
13．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率都是1/2。
设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布率和分布函数。
X可以取值为0,1,2,3。
P(X=0)=1/2
P(X=1)=1/4
P(X=2)=1/8
P(x=3)=1/8
分布函数：
F(x)=0 当x<0
=1/2 当0小于等于x <1
=3/4 当1小于等于x <2
=7/8 当2小于等于x <3
=1 当x大于等于3
14．设随机变量X的分布函数为：，求：1）P{X≤2}，P{X＞3}；2）X的概率密度。
分布函数的导数就是随机变量的概率密度，当x≤0时，分布函数为0，0也是常数，常数的导数为0.
15．设随机变量X～N（10，22），求P{10＜X＜13}；P{X＞13}；P{|X-10|＜2}；P{X＜-28}；P{X＞-15}。
因为随机变量X～N（10，22）即μ=10 σ=2, P{10＜X＜
13}=F(13)-F(10)=Ф( )-Ф( )=Ф(1.5)-Ф(0)=0.9332-0.5=0.4332 P{X＞
13}=1- P{X≤13}=1-F(13)=
1-Ф( )=1-Ф(1.5)=1-0.9332=0.0668 P{|X-10|＜2}= P{ ＜1}=
Ф(1)- Ф(-1)=2Ф(1)-1=2*0.8413-1=0.6826 P{X＜-28}=Ф( )=Ф(-19)
=1-Ф(19) P{X＞-15}=1- P{X≤-15}=1-F(-15)= F(15)= Ф( )=Ф(2.5)=0.9938
16．在电源电压不超过200，200～240和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2，假定电源电压X～N（220，252），试求：1）该电子元件被损坏的概率；2）电子元件被损坏时，电源电压在200～240V
的概率。
记事件“电子元件被损坏”为A,已知
P{A|X<=200}=0.1,
P{A|200<X<240}=0.001,
P{A|X>=240}=0.2,
X～N（220，252），
P{X<=200}=P{(X-220)/√252<=-1.26}=0.1038≈0.1，
P{200<X<240}=0.7924≈0.8,
P{X>=240}=0.1038≈0.1,
1）该电子元件被损坏的概率；
P{A}=P{X<=200}P{A|X<=200}+P{200<X<240}P{A|200<X<240}+P{X>=240}P{A|X>= 240}
=0.1*0.1+0.8*0.001+0.1*0.2≈0.03.
2）电子元件被损坏时，电源电压在200～240V的概率。
P{200<X<240|A}= P{200<X<240}P{A|200<X<240}/P{A}=
=0.8*0.001/0.03=0.026.
17．随即向量（X，Y）在矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，内服从均匀分布。
求（X，Y）的分布密度函数及边缘分布密度，并判断X，Y是否独立。
S=(b-a)(d-c)
（X，Y）的分布密度函数f(x,y)
=1/[(b-a)(d-c)] a≤x≤b，c≤y≤d
=0 其他
关于X的边缘分布密度函数f1(x)
=1/(d-c) a≤x≤b，
=0 其他
关于Y的边缘分布密度函数f2(y)
=1/(b-a) c≤y≤d，
=0 其他
f(x,y)=f1(x)*f2(y)
所以X，Y是独立的
18．已知随机变量X～N（-1，1），Y～N（3，1）且X与Y相互独立，设随机变量Z=X-2Y+7，求Z的概率分布。
X,Y均服从正态分布，Z也服从正态分布
E(Z)=E(X-2Y+7)=E(X)-2E(Y)+7=-1-2*3+7=0;
D(Z)=D(X-2Y+7)=D(X)+4D(Y)=1+4*1=5
所以Z～N(0,5)的正态分布。