第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。

（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：1、0,1,2,,100iS i n n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭2、()()()()()()()()()()123124125134135145234235245345S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，3、{}1,2,3,S i i ==4、()(){}(){}22,,1,1 ,1S x y x y or S x y xy =∈-=+<五、在分别标有1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张。

设事件A 表示“抽得一张标号不大于4的卡片”；事件B 表示“抽得一张标号为偶数的卡片”；事件C 表示“抽得一张标号为奇数的卡片”。

请用基本结果表示如下事件： (),,,,,,,AB AB B A B B A BC B C A B C --解：{}{}{}1,2,3,4,2,4,6,8,1,3,5,7A B C ==={}{}{}{}{}(){}1,2,3,4,6,8 2,4 1,3,5,7 1,3 6,8 1,3A B AB B A B B A BC B C A B C ∴===-=-==∅=∅=六、在计算机系的学生中任选一名学生，设事件A 表示“被选学生是女生”，事件B 表示“被选学生是一年级学生”，事件C 表示“被选学生是运动员”。

1、叙述事件ABC 的意义； 2、什么时候=ABC C ； 3、什么时候=A B ？解：1、该生是一年级女生，且不是运动员； 2、计算机系的运动员都是一年级女生； 3、计算机系的一年级学生都是男生，，而其他年级都是女生时。

习题二 随机事件的概率、古典概型与几何概型一、判断题1、概率为零的事件一定是不可能事件 （ 否 ） 解：如{}()=10,A P A A ΩΩ=所有自然数，在中任取一数，表示抽取的数为，则而不是不可能事件2、()()()P AB P A P B =+ （ 否 ）解：()()()()P AB P A P B P AB =+-3、()()()P A B P A P AB -=- （ 是 ） 解：,A B A AB -=-4、()()1P AB P AB =- ( 是 )解：()()=1()P AB P AB P AB =-5、若B A ⊂,则()()P B P AB = （ 是 ） 解：若B A ⊂，则=B AB6、若()0P AB =，（1）则事件A 和B 不相容； （ 否 ） 解：由1可得（2）则()0P A =或()0P B =. （ 否 ） 解：A ，B 可为不相容事件 二、填空题1、 设事件A ，B 互不相容，()()0.5,0.2P A P B ==，则()P AB =0，()P A B =0.7解：A ，B 互不相容()()=0P AB P ⇒=∅()()()()0.7P A B P A P B P AB =+-=2、已知A B ⊂，()()0.3,0.5P A P B ==，则()P A =0.7，()P AB =0.3，()P AB =0.2，()P AB =0.5 .解：()()10.7P A P A =-= ()()0.3P AB P A == ()()()()0.2P AB P B AB P B P AB =-=-=()()()()11=0.5P AB P A B P A B P B ==-=-3、若()()()0.5,0.4,0.3P A P B P AB ===，则()P A B =0.7，()P AB =0.8，()P AB =0.3.解：()()()()()()()0.2P AB P A AB P A P AB P AB P A P AB =-=-⇒=-= ()()()()0.7P AB P A P B P AB ⇒=+-=()()10.8P AB P AB =-= ()()()10.3P AB P A B P A B ==-=三、选择题1、设事件A ，B 互不相容，()(),P A p P B q ==，则()P AB =（ C ） A 、()1p q - B 、pq C 、q D 、p 解：()()()()()P AB P B AB P B P AB q P q =-=-=-∅= 2、设当事件A 和B 同时出现时事件C 也随之出现，则（ B ） A 、()()P C P AB < B 、()()()PC P A P B ≥-C 、()()P C P AB >D 、()()=P C P AB 解：()()()()()AB C P C P AB P A P B P AB ⊆⇒≥=+-由()()()()()()11P A P B P A P B P A P B ≥+-=--=-⎡⎤⎣⎦四、设A ，B 是两事件，且()()0.6,0.7,P A P B ==1、 在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？2、 在什么条件下()P AB 取得最小值，最小值是多少？ 解：()()()()()1.3P AB P A P B P A B P A B =+-=-1、()()P AB P AB ∴当最小时，最大()()=0.7A B P AB P B ∴⊂=当时，为最小值即，()0.6P AB =为最大值2、()()P A B P AB ∴当最大时，最小 而当=AB Ω时，()=P A B 1最大()=0.3P AB ∴最小五、设A ，B ，C 是三事件，且()()()()()()11,0,48P A P B P C P AB P BC P AC ======,求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：()()()00ABC AB P ABC P AB P ABC ⊆⇒≤=⇒=A ，B ，C 至少有一个发生的概率为()()()()()()()()P AB C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+1111500044488=++---+= 六、设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：1、 只有1件次品；2、 最多1件次品；3、 至少1件次品。

解：1、事件A 表示只有1件次品：()12463101=2C C P A C ⋅= 2、事件B 表示最多一件次品：()1234663102=3C C C P B C ⋅+= 3、事件C 表示至少1件次品：()363105=16C P C C -=习题三 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、判断题1、设S 表示样本空间，则()1P A S = （ 否 ） 解： ()()P A S P A =，应为()1P S A =2、()()1P A B P A B =- （ 否 ） 解：()()()P AB P A B P B =，应为()()1P A B P A B =-3、若A B ⊂，则()1P B A = （ 是 ） 解：()()()()()1P AB P A P B A P A P A ===4、若A B ⊂，则()()P C A P C B ≤ （ 否 ） 解：(),01A C B P A =⊂=Ω<<设且，则()()()()()()()()()()()()()()1,1P AC P A P C A P A P A P BC P C P A P C B P A P C A P B P B P B =======<=，5、若A B ⊂，()0P B >,则()()P A P A B ≤ （ 是 ） 解：()()()()()()()() 01P AB P A P A B P A P B P B P B ==≥<≤6、若()()()()()(),P A B P A P B C P B P A C P A >>>和则 （ 否 ） 如图：设(),,01A B C B A B P B ⊂⊂=∅<<且则 ()()()()()()=P AB P A P A B P A P B P B =>()()()()()()1,P BC P C P B C P B P C P C ===> 而()()()=0P A C P P A ∅=<二、填空题1、 已知()()()()0.3,0.4,0.5,P A P B P A B P B A ====则23，()P A B A B =35.解：()()()()()()0.50.40.2P AB P A B P AB P A B P B P B =⇒=⋅=⋅=(1) ()()()0.220.33P AB P B A P A ===则(2) ()()()()()P AB A B P AB A B P AB A B P A B ==()()()()()()()()()0.30.40.2P ABA P ABB P ABA ABBP ABA ABBP A P B P AB +-==+-+-()()()()()0.5P A AB P B AB P A AB B AB -+----=()()()()()0.5P A P AB P B P AB P -+--∅=0.30.20.40.2030.60.55-+--===2、 已知()()()()11,,36P A P B P A B P A B ====则 712. 解：()()()()()()111=6318P AB P A B P AB P A B P B P B ⇒=⋅=⋅=由()()()()()()()()()11121133P A BP AB P AB P A P B P AB P A B P B P B ---+====--1111733182123--+== 3、 已知()()()()111,,346P A P B A P A B P A B ====，则0.75 . 解：()()()()()()111=4312P AB P B A P AB P B A P A P A ⇒=⋅=⋅=由()()()()()()1112=126P AB P AB P A B P B P B P A B ⇒===则于是()()()()11130.7532124P AB P A P B P AB =+-=+-==4、 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为0.75 .解：设事件A 表示甲击中目标，B 表示乙击中目标，C 表示目标被击中，则()()()()()()()0.60.50.8P C P AB P A P B P AB P A P B ==+-=+-⋅=目标被甲击中的概率为：()()()()()0.60.750.8P AC P A P A C P C P C ====三、一电子器件工厂从过去经验得知，一位新工人参加培训后能完成生产定额的概率为0.86，而不参加培训只能完成生产定额的概率为0.35，假如该厂中有80%的工人参加过培训，（1）一位新工人完成生产定额的概率为多少？（2）若一位新工人已完成生产定额，他参加过培训的概率是多少？ 解：设A 表示工人经过培训，B 表示工人完成生产定额，则A A 与构成完备事件组（1） 由全概率公式可得：()()()()()P B P B A P A P B A P A =+0.860.80.350.20.758=⨯+⨯=（2） 由贝叶斯公式可得：()()()()()()()P B A P A P A B P B A P A P B A P A =+0.860.80.9080.860.80.350.2⨯=≈⨯+⨯四、某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率为5%，一位顾客随机的取出一个电灯泡，求它是合格品的概率。