五 轴向拉伸与压缩
5– 1 试求图示各杆横截面 1-1、2-2、3-3上的轴力，并作轴
力图。
2-2上的正应力。
解： 1．轴力
由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为
2．应力
Pa
MPa
Pa
MPa
5– 2 一根中部对称开槽的直杆如图所示。试求横截面 1-1和
5– 3 一桅杆起重机如图所示。起重杆 AB的横截面是外径为 20
剪应力。
8–8长度为 250mm，截面尺寸为
的薄钢尺，由于
两端外力偶的作用而弯成中心角为 的圆弧。已知弹性模量 。试求钢尺横截面上的最大正应力。
解： 根据题意 ，
可以得到
故钢尺横截面上的最大正应力为
解： 1．求 1-1截面上的剪力和弯矩
：
，
∴ 1-1截面上的剪力和弯矩为：
，
2．求 1-1截面上 a、b两点的应力
3．当 P和 共同作用时，
(b) 1．当 q单独作用时，查表得
由剪切强度条件
≤ ，可得
MPa
≥
m
mm
解： 设每个螺栓承受的剪力为 Q，则由
可得
螺栓的剪应力
MPa ∴ 螺栓满足剪切强度条件。
Pa 11-7
6– 3矩形截面木拉杆的接头如图所示。已知轴向拉力
kN，截面
宽度
mm，木材的顺纹容许挤压应力
MPa，顺纹的容许
剪应力
MPa，求接头处所需的尺寸 L和 a。
6– 4螺栓接头如图所示。已知
每个螺栓承受的轴向为
由螺栓强度条件 ≤
可得螺栓的直径应为 ≥
11-4
5– 9一铰接结构由杆 AB和 AC组成如图所示。杆 AC的长度为杆 AB的两
倍，横截面面积均为
mm2。两杆材料相同，许用应力
MPa，
试求结构的许可载荷。
解：
由
：
可以得到：
由
：
可求得结构的许可荷载为
，即 AC杆比 AB杆危险，故 kN
梁（如图），要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对
值相等，应将起吊点 A、B放在何处（即
）？
解：
作梁的计算简图及其 M图。由
，
即
即
求得
。
11-15
8– 7试用叠加法作下列各梁的弯矩图。
11-16
八（2） 弯曲应力
8– 9矩形截面简支梁如图所示。试计算 1-1截面上 a、b两点的正应力和
对截面 A、B： 由
对截面 C： 由
， ，得到
。 ①
，得到 ②
11-20
8– 15一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知
kN，
m，
MPa。试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比 ，以及
锯成此梁所需木料的最小直径 d。
≥ ≥
由剪应力强度条件
≤ ，可得
解： 1．作弯矩图 2．求高宽比
由
，求得
，
∴ 抗弯截面模量最大时的高宽比为： ，此时，
≤
。
解：
①
B点受力如图(a)所示，由平衡条件可得： 由对称性可知，AD、BD、AC、BC四杆受拉，拉力为
杆强度条件
≤
② 可得
≤
D点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：
CD杆受压，压力为 ，由压杆强度条件
≤ ，可得该结构的许
≤
可得
≤
由①①可得结构的最大许可载荷为
。
，由拉 ① ②
11-6
六剪 切
6– 1如图所示拉杆接头。已知销钉直径
(2)求出轮在合理位置时轴的最大剪应力、轮 A与轮 C之间的相对 扭转角。
解： 1．由扭矩图可以看出：按原先的布置，轴的最大扭矩为 当主动轮 A位于中间位置时，轴的最大扭矩降低为 主动轮 A布置在两从动轮 B和 C中间较为合理。
2．
； ，因此，将
或 11-9
7– 3一空心圆轴的外径
mm，内径
mm，试计算该轴的抗扭
，法兰边厚 cm，平均直径
cm，轴的
MPa，螺栓的
MPa，
MPa，试求轴的直径 d和螺栓直
径 值。
解： 1．校核轴的强度
空心轴：
实心轴：
∴ 轴满足强度条件。 2．求所需键的个数
Pa
Pa
MPa
N
kN
由
≤ 可得： ≥
由
≤
∴ 所需键的个数 ≥ 。
可得： ≥
MPa
解： 1．求轴的直径
由轴的剪切强度条件：
≥ 2．求螺栓的直径 每个螺栓所受到的力为
解：
(a)
将梁从 n-n截面处截开，截面形心为 O，取右半部分研究。
：
，
：
，
(b)
对整个梁
：
，
将梁从 n-n截面处截开，截面形心为 O，取左半部分研究。 ：
：
解： (a)以整个梁为研究对象，求得支反力：
由截面法，分别以 1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
求得：
，
，
可见，集中力作用处，剪力有突变，突变值为 P，弯矩不变。
由螺栓的剪切强度条件：
≥
由螺栓的挤压强度条件：
≥
∴
mm。
≤ ，可得 m mm
N
kN
≤ ，可得
m mm
≤
，可得
m mm
11-11
八 弯曲内力
8– 1 试用截面法求下列各梁中 n-n截面上的剪力和弯矩。
8– 2试用截面法求下列各梁中 1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。并讨论该
两截面上内力值的特点。设 1-1、2-2截面无限接近于载荷作用位置。
(b)以整个梁为研究对象，求得支反力：
，
由截面法，分别以 1-1截面左半部分、2-2截面右半部分为研究对象，
求得：
，
， 可见，集中力偶作用处，弯矩有突变，突变值为 ，剪力不变。
11-12
8– 3试写出下列梁的内力方程，并作剪力图和弯矩图。
3．作内力图，图( )，( )。
解：
1．求支反力，图( )，
11-10
7– 5如图所示，有一外径
mm，内径
mm的空心圆轴与直
径
mm的 实 心 圆 轴 用 键 相 连 。 轴 的 两 端 作 用 外 力 偶 矩
，轴的许用剪应力
MPa；键的尺寸为
mm3，
键的许用剪应力
MPa，许用挤压应力
轴的强度并计算所需键的个数 n。
MPa，试校核
7–6 如图所示，两圆轴用法兰上的 12个螺栓联接。已知轴的传递扭矩
均为 A。各杆材料相同，其许用应力为 。试求许可载荷。
5– 12图示为铰接的正方形结构，各杆材料均为铸铁，其许用压应力与许
用拉应力的比值为
。各杆横截面面积均为Ａ。试求该结构的最大
许可载荷Ｆ。
解：
为一次超静定问题。
由对称性可知，
，
静力平衡条件：
：
变形协调条件：
即 即 由①②解得：
由 AD、BF杆强度条件 可载荷为
3．确定所需材料的最小直径
由
≤ ，得
到
≥
∴
，
≥
九 弯曲变形
9– 1试问下列各梁用积分法求变形时有几个积分常数？试列出相应的边
界条件和光滑连续性条件。
解： (a)四个
当
当
(b)六个 当
当
(c)六个
时，
，
；
时，
，
。
时，
，
；
时， ，
。
11-21
当 当 当
(d)二个 当
时，
，
；
时， ；
时， ，
。
时，
，
当 时，
：
，
：
，
2．列内力方程，图( )和( )，
解： 1．求支反力，图( )，
：
，
：
，
2．列内力方程，图( )和( )，
3．作内力图，图( )，( )。
11-13
8– 4试作出下列梁的剪力图和弯矩图。
8– 5试作下列各梁的剪力图和弯矩图。
11-14
8– 6起吊一根单位长度重量（力）为 q(
)为的等截面钢筋混凝土
MPa，剪切弹性模量 核轴的强度和刚度。
GPa，许用扭转角
，试校
2．实心圆轴的抗扭截面模量 设实心圆轴的直径为 ，由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相等，
即
，可得
解：
故实心圆轴的抗扭截面模量为
3．比较 1和 2可知：在横截面相同的情况下，空心圆截面要比实心圆截 面的抗扭截面模量大，因而，在扭转变形中，采用空心圆截面要比实心圆 截面合理。
5– 6一水压机如图所示。若两立柱材料的许用应力
试校核立柱的强度。
MPa，
解： 1．最大正应力 由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生
在 BC段的任一横截面上，即
解： 立柱横截面上的正应力为
2．杆的总伸长
所以立柱满足强度条件。
11-3
5– 7电子秤的传感器为一空心圆筒形结构如图所示。圆筒材料的弹性
MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不
变，但将 T形横截面倒置成为形，是否合理？何故？
解： C截面为危险截面。
由 ≤
1．作 M图，求
≤ ，可得
2．强度校核 B截面：
C截面：
11-18
3．若倒置成形时，
8– 12若图示梁的
MPa，
，∴不合理。 MPa，试选用工字钢型号。
∴ 选择 14号工字钢。
辅助梁： 3．求 的合理长度
最合理情况为
即：