• 计算桁架内力的方法（2）
❖ 截面法
– 如果并不是要求解出所有杆的内力，而只 是想求解出桁架内若干根杆的内力，可以 适当地选取一截面把桁架截开，通过平衡 方程求解内力未知力。显然，作截面时每 次最多截断三根内力未知杆。
– 如果截断内力未知的杆的数目多于三根， 则它们的内力还需通过联合其它截面列出 的方程一起求解。
YA
A
XA
YB XB
B
X B 1 ( pa 2Q)
YB 1 (3pa 2Q)
End
五、 平面简单桁架的内力计算
• 计算桁架内力的方法（1）
❖ 节点法
– 桁架的每个节点都受一个平面汇交力系 的作用。可以逐个取节点为研究对象， 以已知力求出未知力。注意每个节点只 允许两个未知力。
– 手算时， 通常先求支座反力， 然后采用 列表求解，表由4列、m行 （ m为节点数） 组成。这4列分别是节点号、受力图、平 衡方程和未知内力；每一行放着一条求 解记录。
，而直接去研究整个系统。
见后续
2、以系统为研究对象，画受力图。
MA YA P
p
NB
Qq
A a XA
2a
Ca
2a
2a
B
ห้องสมุดไป่ตู้
D
2a
由 X 0 , X A 0 ,
Y 0 ,
YA
P
p
2a
Q
1 2
q
2a
0
,
MA(F) 0 ,
M
A
Pa
p
2a
3a
Q
5a
NB
6a
1 2
q
2a( 2a 3
6a)
0
解得
X A 0 , YA 29 (kN) , M A 25.5 (kN m)
全章 结束
MA = 10 + 7.5 + 8 = 25.5 (kN ·m)
见后续
解法二：1、以CD为对象
NB
XC
YCQ
q
Ca
D B
2a
2a
Q = 10kN， q = 6kN/m 2a = 1m
由 MC(F) 0 ,
NB
2a
Q
a
1 2
q 2a( 2a 3
2a)
0
解得 NB 9 (kN)
❖ 可不必去求
XC、YC
2Q)
待续
以AC为研究对象
Yc
Q
MC (F) 0 , YA a X A a 0
C Xc
X
A
YA
1 4
( pa
2Q)
YA
a
A
X 0, XA XC Q 0
XAa
XC
1 4
( pa
2Q)
Q
p
Y 0 , YA YC 0
C
YC
1 ( pa 4
2Q)
再以整体结构为研究对象，由
X 0, XA XB 0
d MO R
❖ 主矢等于零，即 R’ = 0
主矩 合成结果
说
明
MO ≠ 0
合力偶
此力偶为原力系的合力偶， 由简化结果彼此等效知： 此情况下，主矩与简化中 心 O 无关。
MO = 0 平 衡
§3-3 节将重点讨论。
• 合力矩定理
❖ 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。
三、 平面力系的平衡条件
• 平衡方程的三种形式
形式
基本
二力矩
三力矩
平
∑X = 0
∑X = 0
∑M A (F) = 0
衡
方
∑Y = 0
∑MA(F) = 0 ∑M B (F) = 0
程
∑MO(F) = 0 ∑MB(F) = 0 ∑M C (F) = 0
只要 x 轴 限制条件 不平行 y 轴
只要 AB 联线 只要A、B、C 不与 x 轴垂直 三点不共线
NB
XC
YCQ
q
Ca
D B
2a
2a
Q = 10kN， q = 6kN/m 2a = 1m
X 0,
XC 0 ,
MC(F) 0 ,
NB
2a
Q
a
1 2
q
2a( 2a 3
2a)
0
NB
1 2
Q
4 3
qa
9
(kN)
MB(F) 0 , YC ·2a － Q a +
1 q 2a 2a
2
3
=0
YC
1Q 2
1 qa 3
❖ 力系的主矢的解析表达式为：
y
R ( X )2 (Y )2
cos(R, i) X ; cos(R, j) Y
R
R
R’
j MO
Oi
x
❖ 主矢不等于零，即 R’ ≠ 0
主矩 合成结果
说明
MO = 0
合力 R’
此力为原力系的合力，合 力的作用线通过简化中心。
MO ≠0
合力 R
大小等于 主矢
此力为原力系的合力，合 力的作用线距简化中心的 距离
四、 物体系的平衡·静定和静不定问题
❖ 工程结构大都是几个物体组成的系统。
❖ 物系平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。
❖ 在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个 平衡方程，若物系由 n 个物体组成，则可写出 3 n 个独立方程。（平行、汇交力系减少）
❖ 当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的 问题称为静定问题。
END
例3-2
三铰刚架如图，自重不计，求支座 A、
B 和中间铰 C 的约束反力。
p Q
C
a
A
B
a
a
待续
p Q
[解]
C
以整体结构为研究对象，由 YA
MB(F) 0,
A
YA2a
Qa
pa
1 2
a
0
XAa
YaB
B
a
XB
YA
1 4
(
pa
2Q)
MA(F) 0,
YB 2a
Qa
pa
3 2
a
0
YB
1 (3pa 4
4
(kN)
见后续
2、再以AC为对象
MA YA P
A
a XA
2a
P = 20kN，
p
p = 5kN/m，
XC’ 2a = 1m
2a C YC’
由（1）知,
X
’ C
=
X
C
=
0
,
YC’ = YC = 4 kN
∑X = 0 ， ∑Y = 0 ，
XA= 0 Y A － P － p ·2a － YC’= 0
Y A = P + p ·2a + YC’= 29 (kN) ∑M A ( F ) = 0 ， MA － P·a － p·2a ·3a － YC’ ·4a = 0
2a
Ca
2a
2a
B
D
2a
❖画出系统的受力图。
❖未知量有四个，必须拆分系统！
见后续
分别画出AC段、CD段的受力图。
MA YA P
A
a XA
2a
p
XC’
2a C YC’
NB
XC
YCQ
q
Ca
D B
2a
2a
❖ 可见，AC段有5个未知量，CD段有3个未知量，
可先研究CD段。
见后续
解法一：1、以CD为对象
❖ 为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知 量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定 或超静定问题。
❖例3-1 静定组合梁如图，已知 Q = 10kN，P =
20kN，p = 5kN/m，q = 6kN/m和 2a = 1m。梁自重 不计，求A，B的支座反力。
MA YA P
p
NB
Qq
A a XA
一 、 力线的平移
作用于刚体上A点的力 F 的作用线可等效地平移 到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对 O 点的矩。
M O
F” d
F’
F
A
二、平面任意力系向平面内一点简化
n
R Fi i 1
—— 力系的主矢
n
M O
M O (Fi )
i 1
—— 力系对简化中心的主矩
❖ 平面任意力系向一点简化，可得一个力和一个力偶，力的大小 和方向等于主矢的大小和方向，力作用线通过简化中心；力偶 的矩等于主矩。