– 定理6.4 （P. 140）设矩阵使下列运算有意义，则
• 当A，B分别为可逆矩阵时，AB和BA均为可
逆矩阵，而且有 (AB)–1 = A–1 B–1
• 当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn
的行列式为 |AB| = |BA| = |A|n |B|m
•若A，B是Hermite矩阵，则AB 和BA均是
• K-积与矩阵乘法
– 定理6.2（P. 138）设矩阵A，B，C，D使 得下列运算有意义，则有
(AB) (CD) = (AC) (BD)
– 意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。
– 特别情形：设 AFmm ，B Fnn，则 – AB = (ImA)(BIn) = (AIm)(InB)
例 其 于题中是有3 快H速N WaHHlsNNh//(22HaHdHaNNm/2/2ar,dN)变 换2n ,ynN=1,H2N,xN,，H1 [1].
HN
1 1
1 1 H N /2
H2 HN/2
H
n 2
.
HN
I I
N N
/ /
2 2
IN /2 HN /2
I
N
/
2
HN
/2
(H2
IN
B的Hadamard被定义为 AaB11b：11 a12b12 a1nb1n
AB= [aijbij]m na21b21
a22b22
a2nb2n
am1bm1
am2bm2
amnbmn
6.1 K-积和H-积的定
义
例题1
设A
1 2
43,
3 B 0
0 1
A B [aij B] A B [aijbij ]
= (ImB) (AIn) = (AIn) (ImB) – (AB) k = Ak Bk
(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2 (A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
6.2 Kronecker积和Hadamard积的性 质
• Kronecker积的矩阵性质
HN
1 1
1 1 H N /2
H2 HN/2
H
n 2
.
HN
H
N
/
2
I N / 2
H
N
/
2
I
N
/
2
IN/2 IN/2
(I2
HN
/2 )(H2
IN
/2)
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)
Hermite矩阵
• 若A，B是酉矩阵，则AB和BA均是酉矩阵。
• Kronecker与矩阵等价、相似关系
定理6.5（P. 141）
设矩阵A，B，为等价矩阵，则(AI)等价于(BI)
设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(AB) 相 似于(JAJB)
• K-积特征值和特征向量
定理6.6（P . 142）设AFmm 的特征值、特征向
量分别是i，xi，B Fnn的特征值、特征向量分 别是 j ， yj，则
– (AB) 的特征值是ij 。特征向量是(xiyj) 。
– (AIn) +(ImB) 的特征值是i + j ，特征向量
是(xiyj)
Kronecker和，记为AB
• Kronecker与矩阵等价、相似关系
推论
若A，B正定（半正定），则AB和AB均正定 （半正定）；
6.1 K-积和H-积的定义
例题1 设
A
1 2
43,
3 B 0
01，计算
AB，BA，I2B，AB，I2A
A B [aij B] A B [aijbij ]
3 0 0 0
B
I
2
B
0
0 B
0 0
1 0
0 3
0
,
0
0 0 0 1
分块对角矩阵
A
B
1 3 2 0
4
30 (1)
3 0
0 4,
义
• 定义6.1（P. 136）
– 设矩阵 A=[aij]mn和 B=[bij]st ，则A和B的
Kronecker被定义为 AB： a11B a12B a1nB
AB=[aijB]msnt
a21B
a22 B
a2n
B
am1B am2B amnB
设A =[aij]mn和 B=[bij]mn为同阶矩阵，则A和
，计算
AB，BA，I2B，AB，I2A
A
B
1
3 0
0 1
3
3 0
0 3
1
0
0 1
9 0
0 3,
AB
3 0 3 0
2
0
1
4 0
1
6 0 12 0 0 2 0 4
B
A
B
A
3
1 2
3 4
0
1 2
3 4
3
6
9 12
0 0
0
0
,
1 3 1 3
0
2
4
1 2
4
0 0 1 3 0 0 2 4
• H-积的基本性质：
设A，B为同阶矩阵，则
– AB = BA
– (kA)B = A(kB)
– A(B + C) = AB + AC – (AB)C = A(BC) – (AB)H = AH BH
• Kronecker和Hadamard的关系：
– 定理6.3（P. 139） AB 可由AB的元素构成。
AB B A
I
2
A
11 0 2
0 1 1 4
1 0
0 4.
对角矩阵
6.1 K-积和H-积的定义
例题2 设分块矩阵A = (Ast)，则 AB = (Ast B)
特别地，若A = (A1, A2, …, An)，则 AB = (A1B, A2B,…, AnB)

例 其 于题中是有3 快H速N WaHHlsNNh//(22HaHdHaNNm/2/2ar,dN)变 换2n ,ynN=1,H2N,xN,，H1 [1].
矩阵论
概述：
主要内容：
• 介绍Kronecker积和Hadamard积 • 讨论
– K-积，H-积的运算性质、之间的关系 – K-积与矩阵乘积的关系 – K-积，H-积的矩阵性质 – K-积的矩阵等价与相似关系
• 应用：求解矩阵方程
– 向量化算子
• 重点：K-积及其应用
6.1 Kronecker积和Hadamard积的定
/2 )(I2
HN
/2)
• K-积，H-积的基本结果：
– A和B中有一个为零矩阵，则 AB=0，AB=0
– II=I，II=I
– 若A为对角矩阵，则AB为分块对角矩阵，AB为 对角矩阵。
• K-积的基本性质
– 定理6.1（P. 138）设以下矩阵使计算有意义， 则
•(kA)B = A(kB) •A(B + C) = AB + AC •(AB)C = A(BC) • (AB)H = AH BH •AB BA