是直和，所以 x=0 ，即 充分性. 对 ，有
其中 因为 所以 即 ，同理 证毕 ，因而
所以 V1+V2 是直和.
推论1 设 V1,V2 都是V的子空间，则V1+V2
是直和
推论2 如果 为 V1V2 的基. 为 的基，
为V2的基，且 V1+V2 为直和，则 例1.8 设R22的两个子空间为
(1) 将 V1+V2 表示为生成子空间;
即
所以
则有
此式称为坐标变换公式.
例1.3 在 下的坐标为 下的 中，已知向量 在基 在基
，求向量 坐标，其中
解
因为
所以
即 例1.4已知矩阵空间K22的两个基 （Ｉ）
（Ⅱ）
求基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵. 解 采用中介基方法. 引入K22的简单基 （Ⅲ） （ 的1行1列为1，其余为0） 则
为A的核空间（零空间），记为N(A). A的核空
间的维数称为A的零度，记为n(A), 即
例1.5 已知 零度. 解
，求A的秩与
rankA=2，n(A)=3-2=1
结论:（1）rankA+n(A)=A的列数； （2）
定理1.3 设W 是数域K上的线性空间
一个m维子空间， 个基向量必可扩充为 证
的
是W的基，则这m 的一个基.
(2) 特征性质法 例如 空集合：不包含任何元素的集合，记为
子集合：设
都是集合 那么就称
表示两个集合，如果集合
的元素，即由 的集合的并：
集合的和：
例如
2. 数域 数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0 不为除数）封闭的数集.
例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.
例如： 将方阵映射为数
将数映射为矩阵
可看成变换。
其中
相等：设 果 对于 都是集合S到 都有 的映射，如 ，则称
相等，记为
.
乘法：设
映射，乘积
依次是集合S到 ，
定义如下
的
是S到
的一个映射.
注：
映射）
，
（ 是
的
二.线性空间及其性质 定义1.1 设V 是一个非空集合，它的元素 用 等表示，K是一个数域，它的元素用
则称向量组
性无关. 定义1.4 如果 元素且满足 （１） （２）
线性相关，否则称其为线
是线性空间Ｖ中的m个
线性无关； 可由 线性表示.
则
称为Ｖ的一个基，m称Ｖ的维数
记
当
维数为m的线性空间Ｖ记
时称为无限维线性空间.
，
例如 对
，有
例1.2 如果V=C，K=R，则 如果V=C，K=C，则
定义1.5 设线性空间Vn的一个基
m等表示，如果V满足下列条件
（I）在V中定义一个加法运算，即当
时，有唯一的和
（1） （2）
，且加法运算满足
（3）存在零元素0,使 （４）存在负元素，即对 ，存在向
量
记为
，使
；
，则称
为
的负元素，
（Ⅱ）在Ｖ中定义数乘运算，即当 时，有唯一的 （５） （６） ，且数乘运算满足
(7) (8)
则称Ｖ为数域Ｋ上的线性空间或向量空间.
第一章
线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.2 线性变换及其矩阵
1.3 两个特殊的线性空间
1.1 线性空间
一. 集合与映射
1.集合
集合：作为整体看的一堆东西.
集合的元素：组成集合的事物. 设S表示集合，a表示S的元素，记为 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S. 集合的表示：(1 ) 列举法
(2) 求 V1+V2 及V1V2的基与维数;
解：
线性无关， 所以V1+V2= dim(V1+V2)=4, V1+V2 的基为： dim(V1V2 )=1 ，V1V2 的基为：
还有如下性质：
证毕
若
定义1.2：如果 x1 ,, xm 为线性空间Ｖ中的m个 向量， ,且存在数域Ｋ中一组数 c1 ,, cm 使
x c1 x1 c2 x2 cm xm
则称 为向量组
量 可由
的线性组合，也称向
线性表示.
定义1.3 对于 ，如果存在不全为零 的m个数 c1 ,, cm K ，使 c1x1 c2 x2 cm xm 0
定义1.9设 V1,V2 都是V的子空间，则集合
称为V1与V2的和，记为V1+V2
定理1.5 如果 V1,V2 都是V的子空间，那么 V1+V2也是V的子空间. 结论:（1） V1V2是包含在V1,V2 中的最大子空 间; （2） V1+V2是包含V1,V2的最小子空间.
例1.7已知 V1与V2是V的两个子空间，其中 V1=L(a1,a2,,am), V2=L(b1,b2,bl), 求证 V1+V2=L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)
,
x 1 x1 2 x2 ,, n xn
则称 为x 在该基下的坐标，记为
定理1.2
设
是Vn的一个基， 的线性组合.
则x可唯一的表示成 三.基变换与坐标变换 设 ；
是Vn的两个基，则
或矩阵形式 其中矩阵
称为由基Ｉ到基Ⅱ的过渡矩阵. 上式称为基变
换公式.（基Ｉ：
设
；基Ⅱ：
）
在基Ｉ与基Ⅱ下的坐标分别为
是V的线性子空间，称为由 子空间，记为
生成的
L( x1 , x2 ,, xm ) k1 x1 km xm ki K , i 1,2,, m
结论: 定义1.7 设 ，以
表示A的第 个列向量，称子空间 为矩阵A的值域，记为 结论：（1） ；（2）
（3） 定义1.8 设 ，称集合
其中
所以有
于是得由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵
四. 线性子空间 定义1.6 设V1是数域K上的线性空间Ｖ的一 个非空子集合，且对已有的线性运算满足
（１）如果 （２）如果
则称V1为Ｖ的线性子空间或子空间.
如果 ， 称为平凡子空间；否 则称为非平凡子空间. 生成子空间： 设 是线性空间V的一组向量，则集合
证 显然 V1+V2L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)，
又对xV1+V2, 有 x=x1+x2, x1V1, x2V2.
所以 x1=k1a1++kmam, x2=p1b1++plbl
因而 x L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)，
可得V1+V2L(a1,a2,,am,b1,b2,bl)，结论成 立.
3.映射
映射：设S 与S’ 是两个集合，一个法则（规则）
: S S ' ，它使S中的每个元素a 都有 中一
个确定的元素 a’ 与之对应，记为
(a) a 或 a a
称为集合S到 S’ 的映射，a’ 称为a 在映射
下的象，而a 称为 a’ 在映射σ下的一个原象.
变换：S到S自身的映射.
当Ｋ＝Ｒ时，称为实线性空间； 当Ｋ＝Ｃ时，称为复线性空间. 例1.1设 为所有正实数组成的数集，其
加法与乘法运算分别定义为
证明R+是R上的线性空间. 定理1.1 线性空间Ｖ有唯一的零元素，任一
元素也有唯一的负元素.
证 设 是Ｖ的两个零元素，由于
所以零元素唯一. 设元素 有两个负元素 ，由于
所以任意元素有唯一负元素.
定理1.6 （维数公式）如果V1,V2是V的两个 子空间，那么有
证：设 是V1V2的一个基，将它依次扩充 为 V1,V2 的基.
由于
假定
则有
所以 于是有 因而 由此推出
所以 即
线性无关. 证毕
定义1.10 如果 V1+V2 中的任一向量只能唯一
地表示为 V1的一个向量与V2 的一个向量的和， 则称V1+V2 为 V1与V2 的直和，记为V1V2 . 定理1.7 V1+V2 为直和 证 必要性. 对 ，所以 ，则有 ，由于
当n-m=0时，定理成立. 假定n-m=k时 不 不能
定理成立，当n-m=k+1时，由于 是 的基，则在 中至少有一个向量
由
线性表示，所以
线 是m+1维的.
性无关，子空间
因为
所以 可以扩充为 的一个基. 的基 证毕
例1.6判断R22的下列子集是否构成子空间： (1) V1={A|detA=0, AR22} (2) V2={A|A2=A, AR22}
五.子空间的交与和
定理1.4 如果 V1,V2是数域K上的线性空间V
的两个子空间，那么V1V2也是V 的子空间. 证 ,V1V2, 有
V1,V2,V1,V2
所以 +V1，+V2 ，进而 +V1V2 同理 kV1V2 ，所以 V1V2 是V的子空间. 证毕