的对角线为
nn－3 2
条时，第一步检验n＝
( C)
A．1
B．2
C．3
D．4
• 解析：三角形是边数最少的凸多边形，故第 一步应检验n＝3.
• 3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1 ＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等 式成立，则当n＝k＋1时，应得到( D )
• 5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn ＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－ 1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝__2_k＋__1___ 时，命题亦真．
• 解析：因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的 下一个奇数是2k＋1.
•一 数学归纳法证明等式
• 数学归纳法证明等式的思路和注意点 • (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄
清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是 多少． • (2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立， 一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分 利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用 归纳假设的证明，就不是数学归纳法．
• 【例1】 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－ n(2n＋1)(n∈N*)．
2 k＋1
＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)·(ak＋2＋ak＋1＋1)＞
0，得ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．根据①和②，可知an＜an＋1对任意
n∈N*都成立．
•三 归纳—猜想—证明
• “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归 纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其 一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出 一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这 种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、 存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归 纳、猜想出公式．
• (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳 法证明．( × )
• (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时， 由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × )
• (4)用数学归纳法证明不等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2 ＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋ 22＋23.( √ )
已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a
2 n＋1
＋an＋1－1＝a
2 n
，求证：当n∈N*时，
an<an＋1.
证明：①当n＝1时，因a2是方程a22＋a2－1＝0的正根，
所以a1<a2.
②假设当n＝k(k∈N*)时，0≤ak＜ak＋1，当n＝k＋1时，
则由a
2 k＋1
－a
2 k
＝(a
2 k＋2
＋ak＋2－1)－(a
第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法
考纲要求
了解数学归纳 法的原理，能 用数学归纳法 证明一些简单 的数学命题.
考情分析 命题趋势
2014，重庆 数学归纳法
卷，22T 一般以数列、
2015，陕西 集合为背景，
卷，21T 用“归纳—
分值：0～5 猜想—证明”
分
的模式考查.
栏目导 航
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4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝
n2n2＋1 3
时，则从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是( B )
A．(k＋1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D．13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
• 解析：由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2 ＋k2，故选B．
• 证明：①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式 成立．
• ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42 ＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
• 当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋ 1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k·(2k＋1) －(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝ k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任意n∈N*都成 立．
• 解析：(1)错误．用数学归纳法证明问题时，第一步 是验证当n为初始值时结论成立，不一定是n＝1.
• (2)错误．不一定所有与正整数有关的数学命题都必 须用数学归纳法证明．
• (3)错误．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证 明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数的增加根据题目 而定．
• (4)正确．用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋ 2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2 ＋22＋23是正确的．
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
• (1)(归纳奠基)证明当n取n0(n0∈N*)时命题成 立；
• (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题 成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
• 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
• (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1 时结论成立．( × )
【例3】 设a>0，f(x)＝aa＋xx，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 解析：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a.猜 想an＝n－a1＋a(n∈N*)．
•二 数学归纳法证明不等式
• (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时， 应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数 学归纳法．
• (2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成 立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳 假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商) 比较法、放缩法等方法证明．
【例2】
• A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
• B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
• C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
• D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
• 解析：由条件知，左边从20,21到2n－1都是连 续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22 ＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.