课 题： 数学归纳法与不等式
目的要求：1.了解数学归纳法的原理及适用范围和基本步骤 ； 2.会运用数学归纳法证明含有任意正整数n 的不等式（包括贝努利不等式）
重点难点： 认识数学归纳法的证明思路；运用数学归纳法时，在
“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系。

教学设计： 一、引入：
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n 0)时成立，这
是递推的基础；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立，这是递推的依据。

实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。

证明时，关键是k ＋1步的推证，要有目标意识。

二、范例分析：
例1、证明：23333)321(321n n ++++=++++ 。

例2、设1->x ，*N n ∈，证明贝努利不等式：nx x n +>+1)1(。

例3、设b a ,为正数，*
N n ∈，证明：n
n n b a b a )2
(2+≥+。

例4、设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有S n ＝2
)
(1
n a a
n +，证明{a n }是等差数列。

（94年全国文）
例5、已知数列
811322
··，得，…，
8212122
··n
n n ()()-+，…。

S n 为其前n
项和，求S 1、S 2、S 3、
S 4，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。

（93年全国理）
解：计算得S 1＝89
，S 2＝2425
，S 3＝4849
，S 4＝8081
， 猜测S n ＝()
()
211
212
2
n n +-+
(n ∈N)
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。

（试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和
例6、设a
n ＝12×＋23×＋…＋n n()+1 (n∈N),证明：1
2
n(n
＋1)<a
n <1
2
(n＋1)2。

三、小结：
四、练习：
五、作业：
1、设f(log
a x)＝a x
x a
()
()
2
2
1
1
-
-
, ①.求f(x)的定义域；②.在y＝
f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。

③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)。

2、已知数列{a
n }满足a
1
＝1，a
n
＝a
n-1
cosx＋cos[(n－1)x]， (x
≠kπ，n≥2且n∈N)。

①．求a
2和a
3
；②.猜测a
n
，并用数
学归纳法证明你的猜测。