2016全国各地导数压轴题汇编
1、（2016年全国卷Ｉ理数）
已知函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点
（I ）求a 的取值范围
（II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：221<+x x
2、（2016年全国卷Ｉ文数）
已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x （I ）讨论)(x f 的单调性
（II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围
3、（2016年全国卷II 理数）
(I )讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II )证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x
-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
4、（2016年全国卷II 文数）
已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.
（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
5、（2016年全国卷III 理数）
设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A
（Ⅰ）求)(x f '；
（Ⅱ）求A ；
（Ⅲ）证明A x f 2)(≤'
6、（2016年全国卷III 文数）
设函数()ln 1f x x x =-+.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x
-<<； （Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.
7、（2016年天津理数）
设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3
其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间；
(Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ，且)()(01x f x f =其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =,求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4
1
8、（2016年四川理数）
设函数x a ax x f ln )(2
--=其中R a ∈ （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得x e x
x f -->11)(在区间（1，+∞）内恒成立(e =2.718…
为自然对数的底数)。

9、（2016年山东理数）
已知()2
21()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2
f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立 2、 (I)()()()()()
'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+
(i)设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >.
所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.
(ii)设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln(-2a). ①若2
e a =-，则()()()'1x
f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2e a >-，则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >；
当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()
ln 2,1a -单调递减. ③若2e a <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.
(II)(i)设0a >，则由(I)知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.
又()()12f e f a =-=，，取b 满足b <0且ln 22
b a <，
则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝
⎭，所以()f x 有两个零点. (ii)设a =0，则()()2x f x x e =-所以()f x 有一个零点.
(iii)设a <0，若2
e a ≥-，则由(I)知，()
f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x <0，故()f x 不存在两个零点；若2e a <-
，则由(I)知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，
在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x <0，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞.
3、试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.
且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，
因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-
所以(2)(2),(2)20x x
x e x x e x ->-+-++> （II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x
-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，
当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；
当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.
因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为
于是00h()2
x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得0022
01().2022224
x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e x +单调递增，对任意2
1(,],24
e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a
f x =∈ 使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2
1(,],24
e 综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是2
1(,].24
e 考点： 函数的单调性、极值与最值.
4、【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1
-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+
-f x x x x f x x x
，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1
-->+a x x x 令(1)()ln 1
-=-+a x g x x x ，则
222
122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，22
2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得
1211=-=-+x a x a ，
由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .
综上，a 的取值范围是(],2.-∞
考点：导数的几何意义，函数的单调性.。