2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题精心校对版△注意事项：1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分）1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()e xx f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（Ⅱ）证明：120x x +>.3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知函数ln ()xf x ax=(0)a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●（Ⅱ）若()f x<a 的取值范围；（Ⅲ）证明：总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞，恒有()1f x <.4.（2017北京东城区高三二模数学(文)）设函数xe a x xf ⋅-=)()(，a ∈R ． （Ⅰ）当1=a 时，试求)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）试求)(x f 在]2,1[上的最大值；（Ⅲ）当1=a 时，求证：对于[5,)x ∀∈-+∞，56()5f x x e ++≥-恒成立．5.（2017北京西城区高三一模数学(文)）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．6.（2017北京西城区高三二模数学(文)）已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．7.（2017北京朝阳区高三一模数学(文)）题满分13分）已知函数3()3e,()1ln f x x ax g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数.(Ⅰ)若曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）设函数1()[()2]2F x x g x x =-+-，若()F x 在区间(,1)()m m m Z 内存在唯一的极值点，求m 的值；（Ⅲ）用{}max ,m n 表示m,n 中的较大者，记函数()max{(),()}(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在(0,)+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.8.（2017北京朝阳区高三二模数学(文)）已知函数()ln f x x x =，2()2a g x x x a =+-()a ∈R ． （Ⅰ）若直线x m =()0m >与曲线()y f x =和()y g x =分别交于,M N 两点.设曲线()y f x =在点M 处的切线为1l ，()y g x =在点N 处的切线为2l .（ⅰ）当e m =时，若1l ⊥2l ，求a 的值； （ⅱ）若12l l ，求a 的最大值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-在其定义域内恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <． 若0λ>，且21ln 1ln x x λλ->-恒成立，求λ的取值范围．9.（2017北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数2()e x f x x ax =-+, 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()e 21x g x x =--，求函数()g x 的最小值； （Ⅲ）求证：存在0,c <当x c >时，()0.f x >10.（2017北京海淀区高三二模数学(文)）已知函数3211()+2132f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当502a <≤时, 求函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值.11.（2017北京石景山区高三一模数学(文)）已知函数()xf x e =．（Ⅰ）过原点作曲线()y f x =的切线，求切线方程；（Ⅱ）当0x >时，讨论曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数．12.（2018北京东城区高三二模数学(文)）设函数2()2ln 2f x x x ax =-++.（Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线1y x =-+是曲线()y f x =的切线，求a 的值.13.（2018北京西城区高三一模数学(文)）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明： ()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．14.（2018北京西城区高三二模数学(文)）已知函数ln ()xf x ax x=-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．15.（2018北京朝阳区高三一模数学(文)）已知函数ln 1()()x f x ax a x-=-∈R . （Ⅰ）若0a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若1a <-,求函数()f x 的单调区间; （Ⅲ）若12a <<,求证:()1f x <-.16.（2018北京朝阳区高三二模数学(文)）已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.17.（2018北京海淀区高三一模数学(文)）已知函数()e sin x f x x ax =-．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，判断()f x 在3π[0,]4上的单调性，并说明理由； （Ⅲ）当1a <时，求证：3π[0,]4x ∀∈，都有()0f x ≥．18.（2018北京海淀区高三二模数学(文)）已知函数()()e x a f x x x=+，a ∈R . （Ⅰ）求()f x 的零点；（Ⅱ）当5a ≥-时，求证：()f x 在(1,)+∞上为增函数.19.（2018北京丰台区高三一模数学(文)）已知函数1()ln ()ex f x a x a =+∈R ． （Ⅰ）当1ea =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．20.（2018北京石景山区高三一模数学(文)）设函数()ln mf x x x=+，m ∈R ． （Ⅰ）当m e =时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）讨论函数()()3xg x f x '=-零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．21.（2017年北京高考真题数学(文)）已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．22.（2018年北京高考真题数学(文)）设函数2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.二 、填空题（本大题共1小题，每小题0分，共0分） 23.（2018北京东城区高三一模数学(文)）已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R .（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当2a=时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（Ⅲ）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a 的取值范围.2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题答案解析一 、解答题1.解析：(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ，代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ，12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；)2,1(-∈x 当时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时，当)1,0(∈x 时，0)('>x g 恒成立，)(x g 单调递增，又032)0(>=g 此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点；当10<<a 时，当),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； 当)1,(a x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有0)1(<g ．10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g 无解当0≤a 时，当)1,0(∈x 时，0)('<x g 恒成立，)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有10)1(-<⇒<a g ． 综上，a 的取值范围为)1,(--∞． ……………………9分 (Ⅲ)不能．原因如下：设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆，且1x ，2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴a x a x f 61)6132()(11+-=∴同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-=若直线过点)1,1(，则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点，则41<a ，显然不合题意．综上，过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(． ……………………14分 2.解： ()f x 的定义域为R . (Ⅰ)()e xxf x '=-， 由()0f x '=得，0x =， 由()0f x '>得，0x <， 由()0f x '<得，0x >，所以()f x 的单调增区间为（-∞，0），单调减区间为（0，+∞）.m 的取值范围是(0,1). ……………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，1(1,0)x ∈-，要证210x x >->，只需证21()()f x f x <- 因为12()()f x f x m ==，所以只需证11()()f x f x <-， 只需证111111e ex x x x -+-+<，只需证1211(1)e 10xx x -++<(1(1,0)x ∈-) 令2()(1)e 10x h x x x =-++<，则2()(21)e 1x h x x '=-+， 因为2(())4e 0x h x x ''=<，所以()h x '在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h ''>=，所以()h x 在(1,0)-上单调递增，所以()(0)0h x h <=， 所以21e 01x x x ++>-，故120x x +> ……………………13分 3.解：()f x 的定义域为(0)+∞,． ………………………1分 （Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =，21ln ()xf x x -'=， ………………………2分 (1)0f =，(1)1f '=， ………………………3分所以，所求切线方程为1y x =-． ………………………4分（Ⅱ）因为0,0a x >>，所以.()f xa <， (5)分 令()g x，则()g x '=， ………………………6分由()0g x '=得，2e x =，所以，2(0e )∀∈,，()0g x '>，2(e )x ∀∈+∞,，()0g x '<， ………………………7分 所以()g x 的单调增区间是2(0e ),，单调减区间是2(e )+∞,， ………………………8分 所以22()(e )eg x g ≤=，所以2e a >. ………………………9分（III ）()1f x <⇔ln 0x ax -<， (10)分令()ln h x x ax =-，1()axh x x-'=， 所以，1(0)a ∀∈,，()0h x '>，1()x a∀∈+∞,，()0h x '<，所以()h x '的单调增区间是1(0)a ,，单调减区间是1()a+∞,， ………………………11分因为(1)h a =-，所以，当1a ≥时，存在0=1x ，使得当(1)x ∈+∞,，恒有()0h x <，即()1f x <， …………12分当01a <<时，由（Ⅱ）知，ln xx <，即ln x <，所以()ln h x x ax ax =-，=0ax 得，x =0h <.1a <0x )x ∈+∞，恒有()0h x <，即()1f x <. 综合上所述，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞，恒有()1f x <． ……………………13分4.解：（Ⅰ）由xe a x xf ⋅-=)()(得xe a x xf ⋅+-=)1()('．当1=a 时，xe x xf ⋅=)('，令0)('>x f ，得0>x ， 所以)(x f 的单调增区间为(0,).+∞………………………4分 （Ⅱ）令0)('=x f 得1-=a x ．所以当11≤-a 时，]2,1[∈x 时0)('≥x f 恒成立，)(x f 单调递增； 当21≥-a 时，]2,1[∈x 时0)('≤x f 恒成立，)(x f 单调递减； 当211<-<a 时，)1,1[-∈a x 时0)('≤x f ，)(x f 单调递减；)2,1(-∈a x 时0)('>x f ，)(x f 单调递增．综上，无论a 为何值，当]2,1[∈x 时，)(x f 最大值都为)1(f 或)2(f ．e af )1()1(-=，2)2()2(e a f -=，222(1)(2)(1)(2)()(2).f f a e a e e e a e e -=---=---所以当222211e e e a e e e --≥=--时，0)2()1(≥-f f ，e a f x f )1()1()(max -==.当222211e e e a e e e --<=--时，0)2()1(<-f f ，2max )2()2()(e a f x f -==．…………10分（Ⅲ）令()()h x f x x =+，所以'()1xh x xe =+. 所以''()(1)xh x x e =+.令''()(1)=0xh x x e =+，解得1x =-，所以当[5,1)x ∈--，''()0h x <，'()h x 单调递减； 当[1,)x ∈-+∞，''()0h x >，'()h x 单调递增. 所以当1x =-时，min 1'()'(1)10h x h e=-=->. 所以函数()h x 在[5,)-+∞单调递增.所以56()(5)5h x h e ≥-=--.所以[5,)x ∀∈-+∞，56()5f x x e ++≥-恒成立． ……………………13分 5.解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分] 由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-．所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分] 设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分] 6.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x xx '=-+-．[ 2分]当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)xx -+=-，整理得2540x x -+=，解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x x x '=-+-． ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：)所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分] 2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >， 所以21022a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分] 7.解：(Ⅰ) 易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-， 依题意，1(33)()12a --=-，解得13a =； …………………………3分 （Ⅱ）因为1()[()2]2F x x g x x =-+-1(1ln )22x x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦21ln 2x x x x =-+，则()ln 11F x x x '=+-+ln 2x x =-+.设()ln 2t x x x =-+， 则1()1t x x'=-1xx -=. 令()0t x '=，得1x =.则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数； 由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数； 而2211()22e e F '=--+210e=-<，(1)10F '=>. 则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ， 且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数； 在1(,1)x 上()0F x '>，()F x 为为增函数. 所以1x 为极值点，此时0m =.又(3)ln310F '=->，(4)2ln 220F '=-<， 则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ， 且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数； 在2(,4)x 上()0F x '<，()F x 为减函数. 所以2x 为极值点，此时3m =.综上0m =或3m =. ……………………9分 （Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()()0h x g x ≥>，不满足条件； （2）当e x =时，(e)0g =，3(e)e 3e e f a =-+，①若3(e)e 3e e 0f a =-+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点；②若3(e)e 3e e 0f a =-+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点；（3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况.因为22()333e 3f x x a a '=->-，所以 ①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增. 又3(e)e 3e e f a =-+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点；（ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <， 又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =-+≥-+>， 所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <<由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增. 因为333(e)e 3e e e 3e e 0f a =-+<-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =-+>-+=+>,所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；综上，2e 13a +>. ………………………………13分8.解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >.（ⅰ）当e m =时，(e)2f '=，(e)e 1g a '=+. 因为12l l ⊥，所以(e)(e)1f g ''⋅=-. 即2(e 1)=1a +-. 解得32ea =-. ………………3分 (ⅱ)因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln 0m am -=在()+∞0，上有解. 设()ln F x x ax =-，0x >， 则11()axF x a x x-'=-=. （1）当0a ≤时，()0F x '>恒成立，则函数()F x 在()+∞0，上为增函数.1 当0a <时，取e a x =，(e )e (1e )0.a a a F a a a =-=-<取e x =，(e)=1e 0F a ->, 所以()F x 在()+∞0，上存在零点.2当0a =时，()ln F x x =存在零点，1x =，满足题意.（2）当0a >时，令()0F x '=，则1x a=. 则()F x 在(0)a 1，上为增函数，1(,)a+∞上为减函数.所以()F x 的最大值为11()ln 10F a a=-≥.解得10<ea ≤.取1x =，(1)=0F a -<.因此当1(0,]ea ∈时，方程()0F x =在()+∞0，上有解. 所以，a 的最大值是1e. ………………8分 另解：函数()f x 的定义域为{}0x x >.则()1ln f m m '=+，()1g m am '=+. 因为12l l ，则()()f m g m ''=在()+∞0，上有解.即ln m am =在()+∞0，上有解. 因为0m >，所以ln ma m=. 令ln ()xF x x =(0x >). 21ln ()0xF x x-'==. 得e x =.当(0,e)x ∈，()0F x '>，()F x 为增函数； 当()e,x ∈+∞，()0F x '<，()F x 为减函数；所以max 1()(e)e F x F ==. 所以，a 的最大值是1e. (8)分（Ⅱ） 2()ln 2a h x x x x x a =--+ (0),x > ()ln h x x ax '=-.因为12,x x 为()h x 在其定义域内的两个不同的极值点， 所以12,x x 是方程ln 0x ax -=的两个根. 即11ln x ax =，22ln x ax =. 两式作差得，1212ln ln x x a x x -=-.因为0,λ>120x x <<，由21ln 1ln x x λλ->-，得121ln ln x x λλ+<+. 则121211()a x x a x x λλλλ++<+⇔>+⇔1212ln ln x x x x --121x x λλ+>+⇔112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+. 令12x t x =，则(0,1)t ∈，由题意知: ln t <(1)(1)t t λλ+-+在(0,1)t ∈上恒成立，令(1)(1))ln t t t t λϕλ+-=-+（， 则221(1)()()t t t λϕλ+'=-+=22(1)()()t t t t λλ--+.（1）当21λ≥，即1λ≥时，(0,1)t ∀∈，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()0,1上单调递增.又(1)0ϕ=，则()0t ϕ<在()0,1上恒成立. （2）当21λ<，即01λ<<时，()20,t λ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()20,λ上为增函数；当()21t λ∈，时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()21λ，上为减函数. 又(1)0ϕ=，所以()t ϕ不恒小于0，不合题意.综上，[1,)λ∈+∞. ………………13分 9.解：（Ⅰ）()e 2x f x x a '=-+， 由已知可得(0)0f '=， 所以10a +=, 得1a =-.（Ⅱ）()e 2x g x '=-，令()0g x '=，得ln2x =， 所以x ，()g x '，()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)e 2ln 2112ln 2g =--=-. （Ⅲ）证明：显然()()g x f x '=且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增. 又(ln 2)0g <，2(2)e 50g =->，由零点存在定理，存在唯一实数0x ∈(ln 2,)+∞，满足0()0g x =， 即00e 210x x --=，00e 21x x =+，综上，()()g x f x '=存在两个零点，分别为0，0x . 所以0x <时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在0(0,)x 上单调递减；0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在0(,)x +∞上单调递增，所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()e 211()24x f x x x x x x x x x =--=+--=-++=--+，因为323(1)e 30,()e 402g g =-<=->，所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >.因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增， 所以一定存在0c <满足()0f c >， 所以存在0c <，当x c >时，()0f x >. 10.解：（Ⅰ）由3211()+2132f x x x x =-+得2'()+2(1)(2)f x x x x x =-=+-，令'()0f x =，得122,1x x =-=，(),'()f x f x 的情况如下表：所以函数()f x 的单调区间为(,2),(1,)-∞-+∞，单调减区间为(2,1)-. （Ⅱ）由3211()+2132f x x x x =-+可得13(2)3f -=.当2a -<-即522a ≤≤时，由（Ⅰ）可得()f x 在[,2)a --和(1,]a 上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为max{(2),()}f f a -，又由（Ⅰ）可知513()()23f a f ≤=， 所以13max{(2),()}(2)3f f a f -=-=；当2,1a a -≥-≤，即01a <≤时，由（Ⅰ）可得()f x 在[,]a a -上单调递减，()f x 在[,]a a -上的最大值为32()2132a a f a a -=-+-+.当2,1a a -≤->，即12a <≤时，由（Ⅰ）可得()f x 在[,1)a -上单调递减，在(1,]a 上单调递增，所以，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为max{(),()}f a f a -， 法1：因为22()()(6)03f a f a a a --==-->，所以32max{(),()}()2132a a f a f a f a a -=-=-+-+.法2：因为21a -≤-<-，12a <≤ 所以由（Ⅰ）可知19()(1)6f a f ->-=，10()(2)6f a f ≤=， 所以()()f a f a ->，所以32max{(),()}()2132a a f a f a f a a -=-=-+-+.法3：设32()()()43g x f x f x x x =--=-+，则2'()24g x x =-+，(),'()g x g x 的在[1,2]上的情况如下表：所以，当02x <<时，()(0)0g x g >=，所以()()()0g a f a f a =-->，即()()f a f a ->所以max{(),()}()f a f a f a -=-322132a aa =-+-+.综上讨论，可知：当522a ≤≤时，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为133；当02a <<时，函数()f x 在区间[,]a a -上的最大值为32()2132a af a a -=-+-+.11.解：（Ⅰ）由题意，设切点为00(,)M x y ，由题意可得0000'()0y f x x -=-，即00x x e e x =，解得01x =，即切点(1,)M e .所以010e k e -==-，所以切线方程为y ex =. …………..........…5分 （Ⅱ）当 0,0x m >>时， 曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 的公共点个数 即方程2)(mx x f =根的个数.由2()f x mx =得2xe m x=．令2()x e g x x =，则4(2)'()x xe x g x x -=，令'()0g x =，解得2x =.随x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：其中2g(2)4e =.所以g(2)为2()xe g x x=在(0,)+∞的最小值．所以对曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数，讨论如下：当2(0,)4e m ∈时，有0个公共点； 当24e m =时，有1个公共点；当2(,)4e m ∈+∞时，有2个公共点. ………..........…13分12.解：()f x 的定义域为(0,)+∞． ………1分 （Ⅰ）当3a =时，2()2ln 32f x x x x =-++，所以22232'()23x x f x x x x -++=-+=.令2232'()0x x f x x-++==，得22320x x -++=， 因为0x >，所以2x =. ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的变化情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2)+∞，. ()f x 有极大值2ln 24+，()f x 无极小值. …………6分（Ⅱ）因为2()2ln 2f x x x ax =-++， 所以2'()2f x x a x=-+. 设直线1y x =-+与曲线()y f x =的切点为（00,()x f x ），所以2000000222'()21x ax f x x a x x -++=-+==-，即202(1)20x a x -+-=. 又因为200000()2ln 21f x x x ax x =-++=-+，即20002ln (1)10x x a x -+++= 所以2002ln 10x x +-=.设2()2ln 1g x x x =+-，因为22(1)'()0(0)x g x x x+=>>， 所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.所以()g x 在区间(0,)+∞上有且只有唯一的零点. 所以(1)0g =，即01x =.所以1a =-. …………13分13.解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x xx f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分] 依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 3分] 解得 0a =． [ 4分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x =⋅++， 所以 2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x x x x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分]因为 e 0x>，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设 221()ln h x a x x x =+-+， [ 7分] 则 223322(1)1()x x x h x x x-+-+'==． 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得 0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()g x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 00212ln x a x x -+=， 所以 00000212()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<． [13分] 14.解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ………………2分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分解得 1a =． ……………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分 因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b =-=+-+，其中1b >． ………………10分则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b >， ………………12分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分15.已知函数ln 1()()x f x ax a x-=-∈R . （Ⅰ）若0a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）若1a <-,求函数()f x 的单调区间; （Ⅲ）若12a <<,求证:()1f x <-.解:（Ⅰ）若0a =,则(1)1f =-,22ln (),(1)2xf x f x-''==, 所以()f x 在点(1,1)-处的切线方程为230x y --=.（Ⅱ）222ln (0,),().ax xx f x x--'∈+∞=令2()2ln g x ax x =--,则221()ax g x x--'=.令()0g x '=,得x =依题意102a->) 由()0g x '>,得x>由()0g x '<,得0x <<.所以,()g x在区间上单调递减,在区间)+∞上单调递增所以,min5()2g x g ==- 因为1a <-,所以110,022a <-<<. 所以()0g x >,即()0f x '>.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（Ⅲ）由0,()1x f x ><-,等价于ln 11x ax x--<-, 等价于21ln 0ax x x -+->.设2()1ln h x ax x x =-+-,只须证()0h x >成立.因为2121()21,12,ax x h x ax a x x--'=--=<< 由()0h x '=,得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ,则200210ax x --=.在0(0,)x 上()0h x '<,在0(,)x +∞上()0h x '>则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-000011ln 23ln .2x x x x x +=-+--=-又13(1)220,()2()30,222a h a h a ''=->=-=-<所以011.2x << 则030,ln 0.2x x ->-> 因此03ln 0,2x x -->即0()0.h x >所以()0h x >. 所以()1f x <-.16.解：（Ⅰ）由题意可知()(1)xf x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-. ……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0xx a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1xh x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10xxxxh x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分 （Ⅲ）()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <. 令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .xt x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0. 所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数.所以max 24()(2)1e t x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x >.而当1x <-时，()11,0x∈-，所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0ef x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当0a =时，()1g x =，符合题意；(2)当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，， 所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3)当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<.综上11[,]22a ∈-. ……………13分17.解：（Ⅰ）当0a =时，()sin x f x e x =,'()(sin cos )x f x e x x x R =+∈，. (1)分得'(0) 1.f = .…………………….…2分 又0(0)sin 0=0f e =, .…………………….…3分所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = .…………………….…4分方法1：（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-，所以π'()e (sin cos )sin(+)4x xf x x x a x a =+-=-. …………………….…5分因为3π[0,]4x ∈，所以ππ[,π]44x +∈. .…………………….…6分πsin()04xx +≥. (7)分所以 当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间3π[0,]4单调递增. (8)分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3π[0,]4单调递增，所以3π[0,]4x ∈时，()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时，设()'()g x f x =，则 '()(sin cos )(cos sin )2cos xxxg x e x x e x x e x =++-=，所以'()f x 在[0,]2上单调递增，在(,]24上单调递减 .…………………….…10分因为'(0)10f a =->，3π()04f a '=-<，所以存在唯一的实数0π3π(,)24x ∈，使得0'()0f x =， .…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03π(,]4x x ∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03π[,]x 上单调递减. .………………….…12分又(0)0f =，3π3π2443π3π()e e 304242f a =⨯->⨯->>， 所以当01a <<时，对于任意的3π[0,]4x ∈，()0f x ≥.综上所述，当1a <时，对任意的3π[0,]4x ∈，均有()0f x ≥. .…………………….…13分方法2：（Ⅱ）因为()sin x f x e x ax =-，所以'()(sin cos )x f x e x x a =+-，…………….…5分 令()'()g x f x =，则'()(sin cos )(cos sin )2cos xxxg x e x x e x x e x =++-=， .…………………….…6分(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：.…7分当0a ≤时，(0)10g a =->，3(π)04g a =-≥所以3π[0,]4x ∈时，()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 在区间3π[0,]4单调递增. .…………………….…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3π[0,]4单调递增，所以3π[0,]4x ∈时，()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时， 由（Ⅱ）可知，()f x '在π[0,]2上单调递增，在π3π(,]24上单调递减，因为(0)10f a '=->，3π()04f a '=-<，所以存在唯一的实数0π3π(,)24x ∈，使得0'()0f x =， .…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03π(,]4x x ∈时，'()0f x <，所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03π[,]x 上单调递减. .………………….…12分又(0)0f =，3π3π443π3π()e e 3044f a =->>>， 所以当01a <<时，对于任意的3π[0,]4x ∈，()0f x ≥.综上所述，当1a <时，对任意的3π[0,]4x ∈，均有()0f x ≥. .……………….…13分 18.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， …………………1分令()0f x =，得220,.x a x a +==- …………………2分 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点； …………………3分当0a <时，得x =…………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为（Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++322()xx x ax a e x ++-=. …………………6分 令32()g x x x ax a =++-，(1)x > …………………7分 则2'()32g x x x a =++， …………………8分其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增， ………………9分 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+，当5a ≥-时，'()0g x >恒成立， …………………10分 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. …………………11分所以()(1)20g x g >=>. …………………12分所以1x >时，'()0f x >,()f x 在(1,)+∞上单调递增. …………………13分19.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分导函数1e ()e ex x xa a xf x x x -'=-+=． ……………………3分（Ⅰ）当1e a =时，因为11(1)0e e f '=-+=，1(1)ef =， ……………………5分 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1ey =． ……………………6分（Ⅱ）e ()(0)e x xa xf x x x -'=>， 设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．，a 的取值范围是集合A ； ……………………7分 函数()f x 在定义域内单调时．．．，a 的取值范围是集合B ，则RA B =．所以函数()f x 在定义域内单调．．，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立， 即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立，等价于e x x a ≤恒成立或e x xa ≥恒成立． ……………………8分 令()(0)e x x g x x =≥，则1()ex xg x -'=， ……………………9分由()0g x '>得 01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增； ……………………10分 由()0g x '<得 1x >，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减． ……………………11分 因为(0)0g =，1(1)eg =，且0x >时，()0g x >， 所以1()(0]eg x ∈，． ……………………12分 所以1{|0,}eB a a a =≤≥或，所以1{|0}eA a a =<<． ……………………13分 20.解：（Ⅰ）因为2'()(0)x ef x x x-=>， 所以当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减；当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ． ………………3分 （Ⅱ）=-'=3)()(x x f x g 312xx m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得31(0)3m x x x =-+>．设31()(0)3x x x x ϕ=-+>，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x ．所以当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在(0,1)上单调递增； 当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零． ……………9分 （Ⅲ）原命题等价于a a f b b f -<-)()(恒成立．)(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ， 则)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减．即011)(2≤--='xmx x h 在),0(+∞上恒成立， 所以=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立， 所以41≥m ． 即m 的取值范围是),41[+∞． ………………14分 21.解：（Ⅰ）因为()e cos xf x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 22.（13分）解：（Ⅰ）因为2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++，所以2()[(1)1]e xf x ax a x '=-++.2(2)(21)e f a '=-，由题设知(2)0f '=，即2(21)e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得2()[(1)1]e (1)(1)e x xf x ax a x ax x '=-++=--.若a >1，则当1(,1)x a∈时，()0f x '<； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x -≤-<， 所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞. 方法二：()(1)(1)e xf x ax x '=--. （1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.。