1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。

分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线a 、如图甲：与一腰平行b 、如图乙：与底边平行角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。

这种思维方法称为“知识板块”思维。

角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。

求证：DE=BD+CE 。

证明：例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。

求证：△DIE 的周长等于BC 。

证明：31∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒2123//OA CDDC DO =⇒()DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒214231//OC DE OEOD =⇒∠=∠⇒43⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒=2131DC CO OACD //32⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=4343AOB OE OD ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒AOB AOB 211213DEOC //31⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒1323//DC CO DC OA 21∠=∠⇒214231//43∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=OC DE OE OD ⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒1232//BC DE 31∠=∠⇒⎭⎬⎫==⇒EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒2131//AB DI BDDI =⇒∠=∠⇒23图甲1 3 A BCDEI图（2） 2 3 2 1I ED A B C4 3 2 O DECBA1图乙同理：EI = CE 。

∴△DIE 的周长=DI + IE + ED = BC例3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。

证明：同理：CF = FD ∴ EF = ED – FD = BE – CF例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。

例4、平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，FG=1。

求：A ∠的度数。

解：⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⎩⎨⎧=∠=∠⇒⇒1252//BCAD BC AD ABCD 平行四边形15∠=∠⇒同理可证：DF = CD = AB = 3 ⇒ AF = 1 ∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2∴ ∴ 评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF 。

②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。

⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒212//BDE BC DEBDE ∠=∠⇒1EDBE =⇒14433=-=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⇒⎭⎬⎫===⇒⎭⎬⎫==⇒AE AD DE AD BC BC AD AE AB AB AE ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠=∠+∠⇒⇒BCD ABC BCD ABC CD AB ABCD 213212180//0平行四边形⎪⎭⎪⎬⎫=∴==∠⇒=∠⇒=∠+∠⇒EF FG FG EGF BGC 21,190909032000Θ0305=∠⇒0120=∠A 0301=∠ 4 3 2 1 F E D MC B A③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到R T △BGC ，RT △BGF 。

④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。

⑤用三角形内角和定理得0120=∠A 。

例5、在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ；DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE=150，求∠COE 的度数。

解：045=∠⇒CED ∴ CE CD =等边△OCD∴∵0306090=-=∠OCE ∴00075230180=-=∠COE 评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。

②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。

③等腰三角形的一个底角=()顶角-018021。

④此题关键是CE OC CE CD OC CD =⇒⎭⎬⎫==。

⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE ”。

例6、 在△ABC 中，090=∠CAB ，A D ⊥B C 于点D ，点E 在B C 的延长线上，且B CAE ∠=∠，AD=3，DE=4。

求：CD ：CE 的值。

解：⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒00090BCD 45EDC ADC DE 90ADC ABCD 平分矩形⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===⇒=+=∠∴=∠OCOD AC 21OC BD 21OD AC BD ABCD 601545150000矩形ODC BDE Θ⇒⎩⎨⎧=∠=⇒060OCD OCCD CEDCOE OC CE ∠=∠==5434322=+=⎪⎭⎪⎬⎫==∆⇒⊥AE DE AD ADE RT BC AD ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∠+∠⇒⊥=∠+∠⇒=∠⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒2121904190490231//000B B BC AD B BAC F F EA CA DF 的延长线于点，交作 EO D A B C评注：①关键由2,1∠=∠∠=∠B B 发现AC 平分DAE ∠。

②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF 。

③由勾股定理求出AE=5，从而求出CD ：CE 的值。

例7、 如图：,1,900===∠AC AB BAC BD 是角平分线DE//BC ，交AB 于点E 。

求DE 之长。

解：AD AE AC AB AC AD AB AE BC DE =⇒⎪⎭⎪⎬⎫==⇒//。

设AE=AD=x ；则DE=2x⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒1232//BC DE DE BE =⇒∠=∠⇒31∴x BE 2= ∴12=+=x x AB∴()12121112-=+=⇒=+x x∴22-=DE评注：① 发现△AED 仍为等腰直角三角形。

② 由角平分线、平行线发现等腰△BED 。

③ 设未知数，列方程求出DE 之长。

（方程思想） 例8、 如图：已知R t △ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交斜边BC 于点D ，OE//BC 交AC 于点E 。

求证：DE 是⊙O 的切线。

333=⇒⎭⎬⎫==⇒∠=∠⇒AF AD AD AF F 53//==⇒CE CD AE AF AC DF 3CBA ED1 2证明：⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠⇒= ⎝⎛∠=∠∠=∠⇒B OD OB B BD DE 3231//Θ⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⇒公有OE OD OA 21ο90=∠=∠⇒∆≅∆⇒OAE ODE OAE ODE ∴ED 是圆O 的切线。

评注：①只能利用定义证明直线与圆相切。

②由等腰三角形和平行线，发现角平分线得∠1=∠2。

③利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。

例9、AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 外一点。

P B ⊥AB ，AC//OP 交⊙O 于C 点。

求证：PC 是⊙O 的切线。

证明：连结，则⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=4231//21OP AC OA OCOPB OPC OB OC OP OP ∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒43 09090=∠⇒⎭⎬⎫=∠⇒⊥∠=∠⇒PCO PBO AB PB PBOPCO 的切线是圆O PC PC DC ⇒⊥⇒。

【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

】 评注：①由等腰△AOC 的构造出现，进而可发现∠3 = ∠4。

②利用直角∠B 证明了∠P C O 为直角。

③具体判定直线与圆相切的两个判别方法： ⑴作垂足，垂足在圆上。

⑵连半径，证明半径的外端就是垂足。

例10、已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线。

切点为点B ，DC 是⊙O 的切线。

求证：OC//AD 。

证明:连结OD,则⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=321//1A AD CD A OA ODOBC ODC OB OD OC ∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⇒公有32 的切线。

是圆O DC OBC ODC ⇒=∠=∠⇒090评注：欲证相切，找垂直。

利用直角证直角。

例11、如图：已知在梯形ABCD 中，点O 在AB 上，半圆⊙O 与AD 、CD 、BC 相切，且AD = 5， BC = 3。

求AB 的长。

解：（方法一）连结OC 、OD则有3231//21∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒∠=∠CD AB 3==⇒BC OB 同理：OA = AD = 5∴AB = OA + OB = 5 + 3 = 8（方法二）延长DA 至E ，延长CB 至F ，使AE=AD 、BF=BC ；连结EF ，则EF//CD ，且EF 与⊙O 相切。

则 （圆外切四边形的对边之和相等）。

例12、已知P 为⊙O 外一点，通过作⊙O 的两条割线，分别交⊙O 于A 、B 和C 、D 点，且AB 是⊙O 的直径。

已知PA=OA=4，AC=CD 。

⑴求CD 长。

⑵求cosB 的值。

解：连结BC 、OC 、AD 。

⎭⎬⎫∠=∠∠=∠∠=∠⇒=25,1454CD AC313221∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠⇒=∠=∠⇒OC OBOBPOCD PC BD OC =⇒=⇒ 设PC= y , CD= x . ∵PO = 8 , OB = 4 ∴x y x y 248=⇒= ∴y(y + x) = 4×12124)2(2⨯=+⇒x x x 4862=⇒x 22=⇒x2422222=⨯===⇒y CD AC 且AB 是圆O 的直径.2220,90AC AB BC BAC -==∠⇒∴BC=()1425622822==-PCB PAD P P ∆∆⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠相似于528)610(21)22(21)(21)(21=+=+=+=+=BC AD CF DE CD EF ABAB244142===⇒AD PC AP BC AD 72=⇒AD ∵∠BDA = 90O∴()672822=-=BD cosB=4386==AB BD评注：①平行线截得成比例线段。