必修五阶段测试四(本册综合测试 )时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分 )3x－ 11．不等式2－x≥1的解集是 ()D． { x| x<2}2．(2017 ·存瑞中学质检 ) △中，a ＝ 1，＝45°，△ ABC＝2，则△外接圆的直径为 ()ABC B S ABC A． 4 3B．5C． 5 2D． 6 23．若a<0，则关于x的不等式x2－ 4ax－ 5a2>0 的解为 ()A． >5 或x <－aB．x>－a或<5C．－< <5D．5< <－ax a x a a x a a x114．若a＞ 0，b＞ 0，且 lg( a＋b) ＝－ 1，则a＋b的最小值是 ()B．10C． 40D． 805．设S n为等差数列 { a n} 的前n项和，若a1＝1， a3＝5， S k＋2－ S k＝36，则 k 的值为() A． 8B． 7C． 6D． 56．若，，∈ R， >，则下列不等式成立的是()a b c a b1>1>bD． ||> ||<22b bc ＋1 a c b c7．已知等差数列 { a } 的公差为d( d≠0) ，且a＋a＋a＋a＝ 32，若a＝ 8，则m的值为 ()n361013mA． 12B． 8C． 6D． 4x＋ y≤8，2y－x≤4，若变量x， y 满足约束条件且 z＝5y－ x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a— b 的x≥0，y≥0，值是 ()A． 48B． 30C． 24D． 16n n n n17S－S*n9．设 {a } 是等比数列，公比q＝2，S为{a} 的前n项和，记T＝n2n0 为数列{T} 的( ∈N ) ，设a n＋1n Tn最大项，则 n ＝()A． 2B． 3C． 4D． 5212210．设全集U＝ R，A＝ { x|2(x－1) <2} ，B＝ { x|log2( x＋ x＋1)>－ log 2( x＋ 2)}，则图中阴影部分表示的集合为 ()A． { x|1 ≤x<2}B．{x|x≥1}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}11．在等比数列 { a n } 中，已知 a 2＝ 1， 其前三 的和 S 3 的取 范 是 ( )A ． ( －∞，－ 1]B ． ( －∞， 0] ∪ [1 ，＋∞)C ． [3 ，＋∞)D． ( －∞，－ 1] ∪ [3 ，＋∞)112．(2017 ·山西朔州期末 ) 在数列 { a n } 中，a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ a n ＋ n ＋ 1， 数列a n 的前 n 和S n ，若 S n <m一切正整数 n 恒成立， 数 的取 范 ( )mA ． (3 ，＋∞ )B ．[3 ，＋∞)C ． (2 ，＋∞ ) D． [2 ，＋∞)二、填空 ( 本大 共 4 小 ，每小 5 分，共 20 分)13．(2017 ·福建莆田二十四中期末 ) 已知数列 { a } 等比数列，前n 的和 S ，且 a ＝ 4S ＋ 3， a ＝nn5464S ＋3， 此数列的公比q ＝ ________.514．(2017 ·唐山一中期末 ) 若 x >0， y >0， x ＋ 2y ＋ 2xy ＝ 8， x ＋ 2y 的最小 是 ________ ．15．如右 ，已知两座灯塔A 和B 与海洋 察站C 的距离都等于3a km ，灯塔 A 在 察站 C 的北偏20°. 灯塔 B 在 察站 C 的南偏 40°， 灯塔 A 与灯塔 B 的距离 ________．16．已知 a ， ， 分 △ 三个内角， ，C 的 ，a ＝ 2，且 (2 ＋ )(sin － sin ) ＝ ( c－ )sin ，b c ABCA BbAB bC△ ABC 面 的最大 ________．三、解答 ( 本大 共 6 小 ，共 70 分 )17． (10 分)(2017 ·山西太原期末) 若关于x 的不等式 ax 2＋ 3 x － 1>0 的解集是1 < <1 .x 2x(1) 求 a 的 ；(2) 求不等式 ax 2－3x ＋ a 2＋ 1>0 的解集．18.(12 分 ) 在△中，内角 ， ，C 的 分 a ， ， ，且> . 已知 → ·→＝ 2，cos ＝ 1 ， ＝ABCA B b ca c BA BCB 3b3. 求：(1)a 和c 的 ； (2)cos(－ ) 的 ．B C19． (12 分)(2017 · 宁沈阳二中月考) 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的 分a ，b ，c ，且 cos A ＝ 1.3(1) 求 sin2B ＋ C＋cos2 A 的 ；2(2) 若 a ＝ 3 ，求 bc 的最大 ．20.(12 分)(2017 · 春十一高中期末) 数列 { a* 3 3 3 } 的各 都是正数，且 于 n ∈N，都有 a ＋ a ＋ a ＋⋯n12332＋ a n ＝ S n ，其中 S n 数列 { a n } 的前 n 和．(1) 求 a 2；(2) 求数列 { a n } 的通 公式．x ＋ 2y ≤2n ，21．(12 分 已知点 ( x ， y ) 是区域x ≥0，( n ∈ ＋ 内的点，目标函数 z ＝ ＋ ， z 的最大值记)N ) x yy ≥0作 z n . 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1＝ 1，且点 ( S n ， a n ) 在直线 z n ＝ x ＋y 上．(1) 证明：数列 { a n － 2} 为等比数列；(2) 求数列 { S n } 的前 n 项和 T n .22.(12分 ) 某投资商到一开发区投资72 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12 万元，以后每年支出增加4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50 万元．设f ( n ) 表示前n 年的纯利润总和( f ( n ) ＝前 n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额) ．(1) 该厂从第几年起开始盈利？(2) 若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48 万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16 万元出售该厂，问哪种方案更合算？答案与解析1 ． B 由 3x －1 ≥1， 可 得 3x －1－ 1≥0， 所 以 3x － 1－ 2－ x≥0， 即 4x － 3≥0 ， 所 以2－x 2－ x 2－ x2－ x 4x － 3x － 2 ≤0，3x －2≠0，解得 4≤ x <2.故选 B.12． C ∵ S △ABC ＝2ac sin B ＝2，12∴ 2×1× 2 c ＝ 2，∴ c ＝4 2，2222∴ b ＝ c ＋a － 2ac cos B ＝ 32＋ 1－2×1×4 2× 2 ＝ 25，b ＝ 5 2，故选 C.∴ b ＝ 5，∴外接圆的直径为 ＝ 5 sin B 223． B ( x ＋ a )( x － 5a )>0. ∵ a <0, ∴－ a >5a .∴ x >－a 或 x <5a ，故选 B.4． C若 lg( a ＋ b ) ＝－ 1，则 a ＋ b ＝1，101 111∴ a ＋b ＝ 10 a ＋ b ( a ＋ b ) ＝b a10 2＋a ＋ b ≥10(2 ＋ 2) ＝40.1当 a＝b＝20，“＝”成立，故 C.5－ 15． A∵ a1＝1，a3＝5，∴公差d＝2＝2，∴a n＝1＋2( n－1)＝2n－1，S k＋2－ S k＝ a k＋2＋ a k＋1＝2( k＋2)－1＋2( k＋1)－1＝4k＋4＝36，∴ k＝8，故 A.6． C∵ > ，21>0，∴2a> 2b，故 C.a bc ＋1 c ＋1 c ＋17． B由等差数列的性知，a3＋ a6＋ a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8.又 a m＝8，∴ m＝8.8． C如所示，当直z＝5y－ x A点 z 最大，即 a＝16， C点 z 最小，即 b＝－8，∴ a－ b＝24，故 C.9． A a12n－ 1＝a na122n－ 1＝a1(22n nn＝1(2－1)， 2n＝－ 1) ，n＋ 1＝ 1·2，S2－ 1S2－1a a17 n－2n17a12n－ 1 －122n－ 1n16n S S＝a＝ 17－2 ＋n≤17－ 8＝ 9，当且当n＝2取等号，n∴ T ＝a n＋ 112a ·2∴数列 { T n} 的最大T2， n 0＝2，故 A.10． A由2(x－1)2<2，得(x－1)2<1.解得0<x<2.∴A＝{ x|0< x<2}．由log 1( x2＋ x＋1)>－log2( x2＋2)，2得log 2( x2＋x＋ 1)<log 2( x2＋ 2) ．x2＋ x＋1>0，2x ＋2>0，解得x<1.∴B＝{ x| x<1}．∴?U B＝{ x| x≥1}．∴阴影部分表示的集合( ?U B) ∩A＝ { x|1 ≤x<2} ．1数列{a n}的公比q，a2＝a1q＝1，∴ q＝，a1∴ S3＝ a1＋a2＋ a3＝ a1＋ a1q＋ a1q2＝ a1＋1＋1，当 a1>0， S3≥1＋2a1·1＝ 3，当且当a1＝1，a1a1取等号；当 a1<0， S3≤1－2＝－1，当且当 a1＝－1，取等号．故 3 的取范是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．S12． D a1＝1， a n＋1－ a n＝ n＋1，a n＝( a n－ a n－1)＋( a n－1－ a n－2)＋⋯＋( a2－ a1)＋a1＝ ( n －1＋ 1) ＋ ( n － 2＋ 1) ＋⋯＋ (1 ＋1) ＋ 1n n ＋1，＝ n ＋ ( n － 1) ＋ ( n － 2) ＋⋯＋ 2＋ 1＝ 2当 n ＝1 ，也 足上式，nn n ＋ 1，∴ a ＝21211n＝n n ＋1＝ 2 n － n ＋ 1 ，an2 1－ 1＋ 1－1＋⋯＋ 1－1∴ S ＝22 3n ＋ 1 ＝n12 1－ n ＋ 1 .∵ S n <m 一切正整数 n 恒成立，∴ m ≥2，故 D.13． 5解析： 由 可得 a 5－ a 6＝ 4S 4－ 4S 5＝－ 4a 5，∴ a 6＝ 5a 5，∴ q ＝ 5.14． 4解析： ∵ x ＋ 2y ＋ 2xy ＝ 8，又2xy ≤x ＋2y2，2∴ x ＋ 2y ＋x ＋2y 2≥8，212∴ 4( x ＋2y ) ＋ x ＋ 2y －8≥0，∴ x ＋ 2y ≥4，当且 当 x ＝ 2y ＝ 2 ，等号成立．∴ x ＋ 2y 的最小4.km解析： 由 意知，∠ ACB ＝120°，∴2＝ 3 2＋ 3 2－ 2 3 × 3 cos120°＝ 92,AB a a aaa∴ AB ＝3a km.解析： 由正弦定理及(2 ＋b )(sinA － sinB ) ＝( c － b )sinC ，得 (2 ＋ b )(a －b ) ＝ (c －b ) c ，又 a ＝ 2，∴ b 2＋ c 2－a 2＝ bc . 由余弦定理得b 2＋c 2－ a 2bc1cos A ＝2bc＝2bc ＝ 2，∴ A ＝60°.又 22＝ b 2＋c 2－ 2bc cos60°＝ b 2＋c 2－ bc ≥2bc － bc ，∴ bc ≤4. 当且仅当 b ＝ c 时取等号．∴ S ＝ bc sin A ≤ ×4×＝ 3.△ ABC 11 32222117． 解： (1) 依题意，可知方程ax ＋3x － 1＝ 0 的两个实数根为 2和1，1 3 1 1∴ 2＋ 1＝－ a 且2×1＝－ a 解得 a ＝－ 2，∴ a 的值为－ 2，(2) 由 (1) 可知，不等式为－ 2x 2－ 3x ＋5>0，即 2x 2＋ 3x － 5<0，25 ∵方程 2x ＋ 3x －5＝ 0 的两根为 x 1＝ 1，x 2＝－ ，2∴不等式 ax 2－ 3x ＋ a 2＋ 1>0 的解集为 x －5<x <1 .2→ →1 18． 解： (1) 由BA · BC ＝ 2得 c · a cos B ＝ 2，又 cos B ＝ ，所以 ac ＝ 6.3由余弦定理，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac cos B .又 b ＝3，所以 a 2＋c 2＝ 9＋2×2＝ 13.ac ＝ 6， 解2＝ 13，得 ＝ 2， ＝3 或 a＝ 3， ＝ 2.a 2＋c acc因 a >c ，所以 a ＝ 3， c ＝ 2.21 2 2 2(2) 在△ ABC 中， sin B ＝ 1－ cos B ＝1－ 3 ＝ 3 ，c 2 2 2 4 2 由正弦定理，得 sin C ＝b sin B ＝ 3× 3 ＝ 9 .因 a ＝b >c ，所以 C 是锐角，因此cos C ＝ 1－ sin 2C ＝ 1－ 42 2 79 ＝ 9.1 72 24 223于是 cos( B － C ) ＝ cos B cos C ＋ sin B sin C ＝ 3×9＋ 3 × 9 ＝ 27.119. 解： (1) 在△ ABC 中，∵ cos A ＝ 3，2B ＋ C12121∴ sin 2 ＋ cos2 A ＝ 2[1 －cos( B ＋ C )] ＋ 2cos A － 1＝ 2(1 ＋ cos A ) ＋ 2cos A － 1＝－ 9.(2) 由余弦定理知 2＝ 2＋ 2－ 2 cos ，a bcbcA∴ 3＝ b 2＋ c 2－ 2bc ≥2bc － 2bc ＝ 4bc ，3 3 3∴ bc ≤9，当且 当 b ＝ c ＝ 3，等号成立，429∴ bc 的最大 4.20． 解： (1) 在已知式中，当32，∵ a 1>0，∴ a 1 ＝ 1，n ＝ 1 ， a 1＝ a 1 当 ≥2 ， 3 3 332n a 1＋ 2＋3＋⋯＋an ＝ n ，①aaS33 332，②a ＋ a＋ a ＋⋯＋ an －1 ＝ S123n －13＋a ) ．①－②得 a ＝ a (2 a ＋ 2a ＋⋯＋ 2an n12n － 1n∵ n >0，∴a 22 2＋⋯＋ 2 n － 1＋n，即2 n，n ＝ 2 1＋n＝ 2 n－aa aa a aS a2＝ 2(1 ＋ a 2) － a 2，解得 a 2＝－ 1 或 a 2＝ 2，∴ a 2∵ a n >0，∴ a 2＝ 2.(2) 由 (1) 知2＝ 2 － *a a ( ∈ N ) ，③nnn当 n ≥2 ， a2＝ 2S － a，④n －1n － 1 n － 122 S n － S n －1) － a n ＋a n － 1＝ 2a n － a n ＋ a n －1＝ a n ＋ a n －1.③－④得 a n － a n － 1＝ 2(∵ n ＋ n －1>0，∴ a n － n － 1＝ 1，∴数列 { n } 是等差数列，首 1，公差1，可得an＝ .a aaan21. 解： (1) 明：由已知当直 点 (2 n, 0) ，目 函数取得最大 ，故z n ＝ 2n .∴方程 x ＋ y ＝ 2n .∵ ( S n ， a n ) 在直 z n ＝ x ＋ y 上，∴ S n ＋ a n ＝ 2n . ① ∴ S n －1＋ a n －1＝ 2( n － 1) ， n ≥2. ②由①－②得， 2a n －a n － 1＝2， n ≥2. ∴ a n － 1＝2a n － 2， n ≥2.a n － 2a n － 2 a n － 211又∵a n －1－ 2＝ 2a n － 2－ 2＝2 a n － 2＝ 2， n ≥2， a － 2＝－ 1，1∴数列 { a n － 2} 是以－ 1 首 ， 公比的等比数列．(2) 由 (1) 得n－ 2＝－ 1 n － 11 n － 1，∴n＝ 2－.a2a2∵ S n ＋ a n ＝2n ，∴ S n ＝2n － a n ＝ 2n － 2＋ 1 n－1. 21 011n －1∴ T n ＝ 0＋ 2＋ 2＋ 2 ＋⋯＋2n － 2＋ 2＝ [0 ＋2＋⋯＋ (2 n － 2)] ＋1＋1＋⋯＋1 n －12221 nn 2n － 21－ 221n －1＝2＋1 ＝ n －n ＋ 2－ 2.1－ 222 ．解：由题意知 f ( n ) ＝ － 12n ＋ n n －1 ×4 －72 ＝－ 2n 2＋ －72.50n240n(1) 由 f (n )>0 ，即－ 2 2＋ 40 － 72>0，解得 2< <18. 由 ∈ N ＋ 知，该厂从第3 年起开始盈利．nn nnf n36(2) 方案①：年平均纯利润n ＝ 40 － 2 n ＋ n，∵ ＋36≥2× 36 ＝ 12，当且仅当n ＝ 6 时取等号，nnnnfn∴≤40－2×12＝ 16.n因此方案①共获利16×6＋ 48＝ 144( 万元 ) ，此时 n ＝6.方案②：f( ) ＝－ 2( － 10) 2＋ 128. 从而方案②共获利 128＋16＝ 144( 万元 ) ．比较两种方案，获利都是144nn万元，但由于第一方案只需6 年，而第②种方案需要10 年，因此，选择第①种方案更合算．纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。