第３题CABDDABC2009年浙江省奉化市保送生考试数学试题一、选择题：（每小题3分，共15分）１．若不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是x >3，则m 的取值范围是 A. m >3 B ．m ≥3 C ．m ≤3D ．m <3２．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A 、B 、C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）A B C D ３．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了 A ．4圈 B ．3圈 C ．5圈 D ．3.5圈４．将一副三角板如下图摆放在一起，连结AD ，则ADB ∠的正切值为( )A ．31-B ．31+C ．312+D ．312- ５．Rt△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 二、填空题（每小题3分，共15分）６．如图6，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是 ．图8图6CBO A图77. 如图7，AB 是半圆O 的直径，∠BAC =30°，BC 为半圆的切线，且BC=43，则圆心O 到AC 的距离是 ．8．如图8，有反比例函数1y x =、1y x=-的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S =阴影．9．如图9，四边形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2均为正方形．点A 1，A 2，A 3和点C 1，C 2，C 3分别在直线y kx b =+(k>0)和x 轴上, 点B 3的坐标是（419，49）,则k+b= ． 10．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上． 三、解答题（共60分）11．（本题6分）计算：()2015tan 4533π-⎛⎫--+︒+- ⎪⎝⎭12．（本题8分）解分式方程22513x x x x -=+-yxOC 1B 2 A 2C 3 B 1 A 3B 3A 1 C 2图913．（本题10分）在下图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 …（奇数）黑色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …（偶数）黑色小正方形个数…（2）在边长为（）的正方形中，设黑色小正方形的个数为，白色小正方形的个数为，问是否存在偶数，使？若存在，请写出的值；若不存在，请说明理由。

14. （本题12分）某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图(1)(2)两图．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图(1)的图象是线段，图(2)的图象是抛物线．(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益（收益＝售价－成本）是多少元？(2)设x月份出售这种蔬菜，每千克收益为y元，求y关于x的函数解析式；(3)问哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．每千克成本(元)15. （本题12分）△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点E 位于边BC 的中点上． （1）如图1，设DE 与AB 交于点M ， EF 与AC 交于点N ，求证：△BEM ∽△CNE ； （2）如图2，将△DEF 绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论．图2图1NM FED CBANMFEDCB A16．（本题12分）如图，射线OA ⊥射线OB ，半径r=2cm 的动圆M 与OB 相切于点Q（圆M 与OA•没有公共点），P 是OA 上的动点，且PM=3cm ，设OP=xcm ，OQ=ycm ． （1）求x 、y 所满足的关系式，并写出x 的取值范围． （2）当△MOP 为等腰三角形时，求相应的x 的值．（3）是否存在大于2的实数x ，使△MQO ∽△OMP ？若存在，求相应x 的值，若不存 在，•请说明理由．参考答案1、C2、 B3、A4、D5、 B6、477、3 8、2π 9、3210、104 11．解 原式=9－5+1+1=612.去分母得5(1)(3)0x x --+=，整理得480x -=，解之得2x =，经检验，2x = 是原分式方程的解13、解：（1）1，5，9，13 （奇数） ……………………………（2分） 4，8，12，16 （偶数） ………………………（4分）（2）由（1）可知位偶数时…………………………（6分）根据题意得……………………（8分），（不合题意舍去）……………（9分）∴ 存在偶数，使得…………………（10分） 14、解：（1）在3月份，每千克售价为5元，在3月份，每千克成本为4元，∴在3月份出售这种蔬菜，每千克收益是1元。

………………………..（2分） （2）设x 月份出售时，每千克售价为1y 元，每千克成本为2y 元。

根据图（1）设1y k x b =+ 3563k b k b +=⎧∴⎨+=⎩237k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 1273y x ∴=-+…………………………（5分）根据图（2）设22(6)1y a x =-+ 24(36)1a ∴=-+ 13a ∴=221(6)13y x ∴=-+……（7分） 12y y y =-2217[(6)1]33y x x ∴=-+--+2110633y x x ∴=-+-……………………（10分）（3）2110633y x x =-+- 217(5)33y x ∴=--+…………………………..（11分）∴当5x =时，y 有最大值 即当5月份出售时，每千克收益最大。

………..（12分） 15. 证：（1）ABC ∆ 是等腰直角三角形，∴045MBE ∠=，∴0135BME MEB ∠+∠=又DEF ∆ 是等腰直角三角形，∴045DEF ∠=∴0135NEC MEB ∠+∠=∴BME NEC ∠=∠，………………（4分）而045MBE ECN ∠=∠=，∴BEM ∆∽CNE ∆……………………（6分） （2）与（1）同理BEM ∆∽CNE ∆，∴BE EMCN NE= ……………………（8分） 又BE EC = EC EMCN NE∴=，……………………（10分） 则ECN ∆与MEN ∆中有E C M E C N E N =，又045ECN MEN ∠=∠=，∴E C N ∆∽MEN ∆………（12分）16．解：（1）过点M 作MD ⊥OA ，垂足为D ，显然ODMQ 为矩形，∴OD=MQ=2，MD=OQ=•y ，•∴PD=x-2．在Rt △MDP 中，y 2+（x-2）2=32， ∴x 2-4x+y 2=5．∴x 取值范围为2<x ≤25．……………………（4分）图2图1NMFED CBANM FEDCBA（2）若△MOP 为等腰三角形，①若OM=MP ，此时x=4；②若MP=OP 时，x=3；③若OM=OP 时，∵OM=4+y 2，∴4+y 2=x 2，于是22224,45,y x x x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得x=2222+……………………（8分） （3）分三种情况依次讨论：①假设两三角形相似，若∠OPM=90°，则MP=y ，OP=2=x ，得x=2，不是大于2的实数，故∠OPM 不可能是90°；②若∠MOP=90°，由于圆M 在第一象限，所以这不可能．③假设△QMO ∽△MOP ，此时∠OMP=90°，则O Q O MM QM P O P O M==，∴3y =24y x +=224y+．得4+y 2=2x ，于是22242,45,y x x x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 得x=1+10<25． ∴存在这样的实数x ，并且x=1+10．………………………（12分）。