2014年江西高考数学（文科）真题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z 满足(1)2z i i +=（为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 4. 已知函数2,0()()2,0x xa x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ） 1.4A 1.2B .1C .2D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为（ ）1.9A - 1.3B .1C 7.2D 6.下列叙述中正确的是（ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）8. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A 则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y xB.19722=-y xC.18822=-y xD.141222=-y x 10. 在同一直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______.12.已知单位向量12121,,cos ,32,||3e e a e e a αα==-=的夹角为且若向量则_______.13. 在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为_________.14. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 15.R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a . （1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a . （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。

20.（本小题满分13分 ）如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线（不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.21.（本小题满分14分）将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率. （1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.参考答案一、选择题1.C2.C3.B4.A5.D6.D7.D8.B9.A 10.B 二、填空题11.（e,e ） 12.3 13.71,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭15.[]0,2 三、解答题16.（本小题满分12分）解： （1）因为()f x =()()22cos cos 2a x x θ++是奇函数，而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以 y 1=()cos 2x θ+ 为奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得 -（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos cos sin 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 17. （本小题满分12分）（1）解：由232n n nS -=，所以 a 111S ==，当2n ≥时132n n n a S S n -=-=-所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（2）证明：要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=-=-+即.而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都存在*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 18. （本小题满分12分） 解：（1）当4-=a 时，由()f x'=，得25x =或2x =，由()0f x '>得2x (0,)5∈或x (2,)∈+∞，故函数f （x ）的单调递增区间为2(0,)5和(2,)+∞ （2）因为()f x '=，a<0，由()=0f x ' 得10a x =-或2ax =- 当x ∈(0,)10a-时，()f x 单调递增，当x ∈(,)102aa--时，()f x 单调递减，当x ∈(,)2a-+∞时，()f x 单调递增，易知()f x =（2x+a ）0≥，且()0,2af -= ①当12a-≤时，即-2≤a<0时，()f x 在[1,4]上的最小值为(1)f ，由(1)f =4+4a+a 2=8，得a=±均不符合题意②当142a<-≤时，即-8a 2≤<-时，()f x 在[1,4]上的最小值为()0,2af -=不符合题意③当42a->时，即a 8<-时，()f x 在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而(1)8,f ≠由2(4)2(6416)8,f a a =++=得10a =-或6a =-(舍去)，当10a =-时，()f x 在(1,4)上单调递减，()f x 在[1,4]上的最小值为(4)8,f =符合题意。

综上有，a=-1019.（本小题满分12分）（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB A C ⊥,又11//BB CC ，所以11.A C CC ⊥（2）解法一：设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1A B ==同理1A C ==在1A BC ∆中, 222111111cos 2A B A C BC BA C BA C A B A C +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯===故当x ==1AA =V解法二：过1A 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由1AA BC ⊥，A 1D BC ⊥,故BC ⊥平面1AA D ，BC ⊥AD 又90BAC ∠=︒,所以1122ABC S AD BC AB AC AD ∆=⋅=⋅=得,设1AA =x ，在Rt 1AA D ∆中，111111111=2-S l=A BC A BCA D S A D BC ABC ABC V S AA ∆∆=⋅==⋅⋅直从而三棱柱的体积因==故当x==即1AA=体积V取到最20. （本小题满分13分）（1）解：依题意可设AB方程为2y kx=+，代入24x y=，得24(2)x kx=+，即2480x kx--=.设1122(,),(,)A x yB x y，则有：128x x=-，直线AO的方程为11yy xx=；BD的方程为2x x=；解得交点D的坐标为2121x xy xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩注意到128x x=-及2114x y=，则有1121211824y x x yyx y-===-，因此D点在定直线2y=-上(0)x≠.（2）依题设，切线的斜率存在且不等于0，设切线的方程为(0)y ax b a=+≠，代入24x y=得24()x ax b=+，即2440x ax b--=，由0∆=得2(4)160a b+=，化简整理得2b a=-，故切线的方程可写为2y ax a=-，分别令2,2y y==-得12,N N的坐标为1222(,2),(,2)N a N aa a+-+-，则222222122()4()8MN MN a aa a-=-+-+=，即2221MN MN-为定值8.21.（本小题满分14分）解：（1）当100n=时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为11(100);192p=（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002014n nn nF nn nn n≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）当*(19,),()0;n b b b N g n=≤≤∈=当*10,(19,09,,),(),n k b k b k N b N g n k=+≤≤≤≤∈∈=当1000,()11;n g n ==即**0,,19,,(),10,19,09,,,11,100n b b b N g n k n k b k b k N b N n ⎧=≤≤∈⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩同理有*0,18,101,18,09,,,()80,899820,99,100n k n k b k b k N b N f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩由()()()1,h n f n g n =-=可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,n =所以当100n ≤时，{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}S =, 当9n =时，(9)0,P = 当90n =时，(90)91(90)(90)17119g P F ===，当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈时，()(),()29209g n k k P n F n n k ===-+由,209ky k =+关于k 单调递增，故当*109(18,)n k k k N =+≤≤∈，()P n 最大值为8(89).169P =又8116919<，所以当n S ∈时，()P n 最大值为1.19。