半角模型例题已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF结论 3：AH﹦ AD结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小22 2结论 6：BM﹢DN﹦MN结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线结论 9：四点共圆结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11： MN﹦EF（可由相似得到）结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到）结论 5 的证明：设正方形 ABCD的边长为 1则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y)﹦﹣ xy所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小结论 6 的证明：将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合′∴DN﹦ BN′易证△ AMN≌△ AMN′∴MN﹦ MN′在 Rt△BMN中，由勾股定理可得：2′ 2′2BM﹢BN ﹦MN22 2即 BM﹢DN﹦MN结论 7 的所有相似三角形：△ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE结论 8 的证明：因为△ AMN∽△ AFE∴∠ 3＝∠ 2因为△ AMN∽△ BAN∴∠ 3＝∠ 4∴∠ 2＝∠ 4因为 AB∥CD∴∠ 1＝∠ 4∴∠ 1＝∠ 2结论 9 的证明：因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45°∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆A、M、 F、 D 四点共圆C、E、 M、 F 四点共圆**必会结论 --------图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF.一、全等关系（）求证：① 2 2 2 平分，平分DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE .1二、相似关系（2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG .（3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BEDF 1 . CE CF 2三、垂直关系（4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB .（5) 、和差关系BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ；③ | BE DF | 2 | BH DG | .例1、在正方形 ABCD中，已知∠ MAN﹦ 45°，若 M、N 分别在边CB、 DC的延长线上移动，①.试探究线段 MN、BM 、 DN之间的数量关系 .②.求证： AB=AH.例2、在四边形 ABCD中，∠ B+∠ D﹦ 180°，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、 CD上，且满足 EF=BE +DF.求证：∠ EAF＝∠BAD例3、在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=2∠ DAE=120°，若 BD=5，CE=8，求 DE的长。
例 4、请阅读下列材料：已知：如图 1 在Rt ABC 中，，，点 D 、E 分别为线段BC上两动点，若DAE 45．探BAC 90 AB AC究线段 BD 、 DE 、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC 绕点A顺时针旋转 90 ，得到ABE ，连结 E D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．AAC D CB D B EE图 1 图2例 5、探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝45°，试判断 BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把 (1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠ D ＝180°， E 、F 分别是边 BC 、 CD 上的点，且∠ EAF=1∠BAD ”，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证 2明，若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）问中，若将△ AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E 、 F 运动到 BC 、 CD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变， 则（1）问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明 ..练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ﹦∠ D ﹦ 90°， AB ﹦AD ，若 E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠ BAD .求证： EF=BE +DF.练习巩固 2：如图，在五边形 ABCDE 中， AB ﹦BC ﹦CD ﹦ DE ﹦EA ，∠CAD ＝ ∠BAE ，求∠ BAE 的度数练习巩固 3：已知：正方形 ABCD 中， MAN45o ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB 、DC （或它们的延长线）于点 M 、N ．（1）如图 1，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，有 BM DN MN ．当 MAN 绕点 A 旋转到BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM ， DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．ADADADNNBCBCMBCMMN练习巩固 4(1) 如图，在四边形 ABCD 中， AB ﹦ AD ，∠ B ﹦∠ D ﹦90°， E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠BAD ．求证： EF BE FD ;ADFBEC(2) 如图在四边形 ABCD 中， AB ﹦AD ，∠ B ﹢∠ D ﹦180°， E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝ ∠BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形 ABCD 中， AB ﹦AD ，∠ B ﹢∠ ADC ﹦ 180°， E 、 F 分别是边 BC 、CD 延长线上的点，且∠ EAF ＝ ∠BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．ADFB ECFADBCE（4）如图①，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E 、F 分别在边 AB 、CD 上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P ，连接 EP ．（1）如图②，若 M 为 AD 边的中点，①△ AEM 的周长﹦cm ；②求证： EP ﹦ AE ﹢DP ；（2）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置（点 M 不与 A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．（5）. 如图 17，正方形 ABCD ， E 、 F 分别为 BC 、 CD 边上一点．DFC（1）若∠ EAF ﹦45o ．求证： EF ﹦ BE ﹢DF ．（2）若△ AEF 绕 A 点旋转，保持∠ EAF ﹦45o ，问⊿ CEF 的周长是否随△AEF 位置的变化而变化？E（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，如果⊿ CEF 的周长为 2．求∠ EAF A图 17B的度数．练习巩固 5、如图，已知在正方形 ABCD 中， MAN ﹦45°，连接 BD 与 AM ， AN 分别交于 E 、F 两点。
求证：（ 1） MN ﹦MB ﹢DN ；（ 2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；（ 3） VCMN 的周长等于正方形 ABCD 边长的 2 倍；S ABCD2AB ；（ 4） WSVCMNMN（ 5）若MABAMN﹦ 20°，求 ；（ 6）若 MAB 0 p p 45o ，求 AMN ； （ 7） EF 2EB 2 DF 2 ；（ 8） VAEN 与 VAFM 是等腰三角形；（ 9）SVAEF1 。
SVAMN2练习巩固6、在等边ABC 的两边AB， AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为 ABC BDC 120 ， BD CD ，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长L的关系．外一点，且BM ，BN ，MNMDN 60 ，之间的数量NA A AM NNMBB C BC CMD D D图①图②图③（1）如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式_________；此时Q__________ L（2）如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM DN 时，猜想(1) 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN x ，则 Q _________(用x，L表示 ) 练习巩固 7、如图所示，△ ABC是边长为 1 的等边三角形，△ BDC是顶角为120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°的∠ MDN，点 M， N 分别在 AB， AC上，求△ AMN的周长练习巩固 8、如图，在正方形ABCD中， BE=3， EF﹦5，DF﹦4，求∠ BAE﹢∠ DCF为多少度。
巩固练习 9、如图 1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ ACB﹦∠ F﹦90°，∠ A﹦∠ E﹦30°。
△ EDF 绕着边 AB的中点 D 旋转， DE， DF分别交线段 AC于点 M， K．．．(1)①如图 2、图 3，当∠ CDF﹦0°或 60°时， AM﹢CK_______MK(填“ >”，“ <”或“ =”) ．②如图 4，当∠ CDF﹦30°时， AM﹢CK___MK(只填“ >”或“ <”) ．(2)猜想：如图 1，当 0°＜∠ CDF＜60°时， AM﹢CK_______MK，证明你所得到的结论．(3) 如果MK2 CK 2 AM 2，请直接写出∠CDF的度数和MK的值．AM。