旋转综合之角含半角模型
初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。

在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。

基本图形
1、如图所示，在等腰Rt △ABC 中，点 D , E 在斜边上，∠DAE = 45︒ ，将
连接 EF ．则△ADE ≌△AFE ， DE 2 = BD 2 + CE 2
△ABD 旋转至△ACF ，
2、如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E , F 分别在边 BC , CD 上，∠EAF = 45︒ ，将△ABE 旋转至△ADG ，则△AEF ≌△AGF ， EF = BE + DF
角含半角模型的解题步骤
1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转；
2、证全等；
3、利用全等、相似得到边角的关系．
例 1 如图，已知等边△ABC 的边长为1 ， D 是△ABC 外一点且∠BDC =120︒ ， BD = CD ， ∠MDN = 60︒ ．求△AMN 的周长．
解 延长 AC 到 E ，使CE = BM ，连接 DE ．
易证
所以
可得
所以
从而
所以△AMN 周长为
△BMD ≌ △CED (SAS).
∠BDM = ∠CDE ,
DM = DE . ∠NDE = ∠NDM = 60︒, △MDN ≌△EDN (SAS). MN = EN = CN + CE = CN + BM , C △AMN = AB + AC = 2.
例 2 如图，正方形 ABCD 的边长为 a ， BM , DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 ∠MAN = 45︒ ，连接 MC , NC , MN ．
（1） 填空：与△ABM
相似的三角形是
， ；（用含a 的代数式表示）
（2） 求∠MCN 的度数；
（3） 猜想线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论．
解 （1） △NDA ， a 2
（2） 由（1
）可得 BM =
AB ，
AD ND 所以
而易证∠CBM = ∠NDC = 45︒ ，
所以
则
所以 BM = DC . BC ND
△BCM ∽△DNC . ∠BCM = ∠DNC .
∠MCN = 360︒ - ∠BCD - ∠BCM - ∠DCN
= 270︒ - (∠DNC + DCN )
= 270︒ - (180︒ - ∠CDN )
= 135︒.
（3） 线段 BM , DN 和 MN 之间的等量关系是 BM 2 + DN 2 = MN 2 ．证明如下：
如图，将△ADN 旋转至△ABE ，连接
EM ． 易得
AE = AN ,
∠MAE = ∠MAN = 45︒,
∠EBM = 90︒.
所以
则
在Rt BME 中，△AME ≌△AMN (SAS).
ME =MN.
BM 2+BE2=EM 2 ,
所以
BM 2+DN 2=MN 2.
例 3 在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形OABC 的两顶点A ,C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N，（如图）．设
△MBN 的周长为p ，在正方形OABC 旋转的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．解在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．证明如下：
延长BA 交y 轴于D 点，
则
而∠OAD = 90︒=∠OCN ，所以
所以
易证∠AOD =∠CON = 45︒-∠AOM.
△OAD △OCN (ASA). ≌
OD =ON ,
AD =CN.
△OMD ≌△OMN (SAS).
所以
MN =MD =AM +AD
=AD +CN.
所以
p =MN +BN +BM
=AB +BC
= 4.
旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了角含半角模型，希望各位同学多加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习，下一节我们将重点讲解手拉手模型。