为离散化误差。
定义2：节点 x p , t p 为微分方程求解区域 内任意一点，当
当
n u u 精确解 u ，即 en j j 0 ，则差分方程收敛于微分方程。
x xp , t t p
时，差分方程数值解 u n j 趋近于微分方程
差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。
•
n
n
当 t , x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近 于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
•
①
关于差分方程相容性需要作以下说明：
相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的 程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必 须满足的有效性条件。
②
相容性要求对于求解区域内任意点 x j , t n ，在 t , x 同时趋近于0， 截断误差R n 趋近于0。如果 t , x 不是同时趋近于0或并不趋近于0， j 而是趋近于某值，或结论并不是对每个点
2.4.1 相容性（Consistency ）
• 差分方程相容性是讨论当 t , x 0 时，差分方程逼近于微分方 程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。
• 定义：对于一足够光滑函数 u ，若时间步长 t ，空间步长 x n R 趋近于0时，差分方程截断误差 j 对于每一点 x j , t n 都趋近于
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，
我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而
且能得到同样的计算结果呢？ 答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的
对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。
一、直接证明法
u u a 0 的FTBS差分格式为： 对流方程 t x
1 n n 0 un (1 r ) u ru , u j j j 1 j ( x j )
(a)
设求解区域内任意一点 x p ，t p ，它的微分方程精确解为u， n n 差分方程解为 u n ，则离散化误差为 e u u j j j ，把差分方 程和微分方程相减可得离散化误差方程：
1 作为t的函数，在 邻域展开成Taylor级数，把 u n t un n j j 1
和 un 作为x的函数，在 x j 邻域展开成Taylor级数： j 1
1 2u 1 3u u n 1 n 2 u j u j t 2 t 3 t 3 (t 4 ) 2 t j 6 t j t j
差分方程收敛性是讨论当 t , x 0 时，差分方程的解和微分
方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分
方程的解的逼近程度。
n 定义1：差分方程 Lun 的数值解为 ，微分方程的精确 0 u j j n n 解为 u ，它们之间的误差用 en 表示，则 e u u j j 0 称 j
x
j
,t 都成立，则差分方 n
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。 ③ 相容性条件不仅要求差分方程截断误差R n 趋近于0，而且要求差分方 j 程定解条件截断误差rjn 也同时趋近于0。 ④ 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。
2.4.2 收敛性（Convergence ）
在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。 在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容 性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定 基础。
1 u 1 u u n 2 3 4 un u x x 2 3 x (x ) j 1 j 2 x j 6 x j x j
2 3 n n n
n
n
n
1 2u 1 3u u n n 2 u j 1 u j x 2 x 3 x3 (x 4 ) 2 x j 6 x j x j
n
n
n
将 uj
n 1
n n u 和 u 、 j 1 j 1
代入FTCS格式中，即可得到：
u 2u 1 2u 1 3u 2 3 2 t x 2 2 t 2 t 6 t 3 t (t ) (x ) j j
n j
设a≥0， a
t ≤1，则0≤ x
a ≤1，于是有：
t x
e
n 1 j
t n t n 1 a e j a e j 1 O(x, t ) x x t t n 1 a max en a max e j j O( x, t ) j j x x
0，则该差分方程 Lun 逼近微分方程 Lu 0，即差分方程与 j 0 微分方程是相容的。 • 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方 程的FTCS差分格式为：
1 n un u j j
t

n n un 2 u u j 1 j j 1
x
2
0
• 把
1 n n en (1 r ) e re j j j 1 O(x, t )
(b)

由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全 相同的，由此可以得到：
e
n 1 j
t n n e a (e j e j 1 ) O(x, t ) x t n t n 1 a e j a e j 1 O(x, t ) x x