(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 16 ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－ . (2,4)，
4x－4－2y－1＝0， 由题意得 2 2 x － 4 ＋ y － 1 ＝5， x＝3， 得 y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
奇思妙想：在△ABC中，M为BC上任意一点，N为AM → → → 的中点，AN＝λAB＋μAC，求λ＋μ的值．
→ → → → 解：AM＝2AN＝2(λAB＋μAC) → → ＝2λAB＋2μAC， ∵M、B、C共线， 1 ∴2λ＋2μ＝1，∴λ＋μ＝ . 2
• 1．以平面内任意两个非零不共线的向量为一 组基底，该平面内的任意一个向量都可表示 成这组基底的线性组合，基底不同，表示也 不同． • 2. 利用已知向量表示未知向量，实质就是利 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算．
课前自主导学
• 1. 平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使________．其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
→ → (1)在△ABC中，D为BC边中点，设 AB ＝a， AC ＝b，则 → 用基底a，b表示AD应为________． (2)设e1，e2表示平面内向量的基底，则a＝e1＋λe2与b＝ －e1＋2e2共线的条件是λ＝________.
• 3. [2013·福州模拟]已知向量a＝(1,1)，b＝(2， x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为 ( ) • A. －2 B. 0 • C. 1 D. 2 • 答案：D • 解析：a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， 由题意得3(4x－2)－6(x＋1)＝0，x＝2.
• (4)规定： • ①相等的向量坐标________，坐标________ 的向量是相等的向量； • ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始 点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关系．
→ → 在正△ABC中，向量AB与BC的夹角为60° ，对吗？
已知 ________．
→ AB
＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标是
→ → (2)∵AC＝2AB， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
a－1＝4 ∴ b－1＝－4 a＝5 ，解得 b＝－3
，
∴点C的坐标为(5，－3).
例3 [2012· 重庆高考]设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝ (1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( A. 5 B. 10 )
• 答案：A
→ → → 解析：BC＝BA＋AC＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且 → → → AB＝a，AD＝b，则BE＝( )
1 A. b－2a 1 C. a＋2b
1 B. b＋2a 1 D. a－2b
• 答案：A
1 → → → → 1 → → 1→ 解析：BE＝BC＋CE＝AD＋ CD＝AD－ AB＝b－ a， 2 2 2 故选A项．
，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所 → 以OP＝(2－sin2,1－cos2)．
• [答案] (2－sin2,1－cos2)
【备考· 角度说】 No.1 角度关键词：审题视角 向量是体现数形结合的一个典范，借助于图形的直观 性，可迅速的作出判断，圆心运动到C时，点P所经过的弧 → 长为2，其所对圆心角为2，结合三角函数的知识，得到 OP 的坐标．
• No.2 角度关键词：方法突破 • 解决好本题的关键是充分利用图象语言，属 于典型的数形结合思想方法的应用，数形结 合的重点是研究“以形助数”，这在解选择 题、填空题中更显其优越，要注意培养这种 思想意识，做到心中有图，见数想图，以开 拓自己的思维视野.
经典演练提能
→ → → 1. [2012· 广东高考]若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC ＝( ) A. (－2，－4) C. (6,10) B. (2,4) D. (－6，－10)
3. x2y1＝0
(x1± x2，y1± y2) (x2－x1，y2－y1) (λx，λy) x1y2－
填一填：(1)(－1，－1) －1)． (2)(1,2) (3)2
→ → → 提示： BC ＝ BA ＋ AC ＝(－1，
提示：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∴(λ＋2)(－7)＝
(2λ＋3)(－4)，∴λ＝2.
180° ，忽视其中一种情形会出错． 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示 x1 y1 为 ＝ ，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. x2 y2
3条必会结论 1. 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. → → → 2. 已知 OA ＝λ OB ＋μ OC (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共 线的充要条件是λ＋μ＝1. 3. 平面的基底中一定不含零向量.
• 2. 平面向量的坐标表示
→ (1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作 OA → ＝a， OB ＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量a与b的夹 角，当θ＝________或________时，两向量共线，当θ＝ ________时，两向量垂直．
• (2)平面向量的正交分解 • 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解． • (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面 内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与 数对(x，y)是一一对应的，因此把________叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
∴d＝(3，－1)或(5,3)．
课课精彩无限
【选题· 热考秀】 [2012· 山东高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，一单 位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在 (0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1) → 时，OP的坐标为________．
[规范解答] ︵ 设圆心运动到C时，圆与x轴的切点为A，所以劣弧 PA π ＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－ ，所以PB＝ 2 π π sin(2－ )＝－cos2，CB＝cos(2－ )＝sin2 2 2
C. 2 5
D. 10
[解析]
∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，∵b∥c，∴－4 10 ，
－2y＝0，∴y＝－2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝ 选B项．
• [答案] B
• 向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是： a∥b(b≠0)⇔a＝λb，或x1y2－x2y1＝0，至于使 用哪种形式，应视题目的具体条件而定．利 用两个向量共线的条件列方程(组)，还可求未 知数的值．
4.
已知向量a＝(4,3)，b＝(－2,1)，如果向量a＋λb与b )
垂直，则|2a－λb|的值为( A. 1 C. 5 B. 5
→ → 得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)， → → DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)． 1→ → 1→ → 因为AC＝3AB，DA＝－3BA，
x1＋1＝1 所以有 y1－2＝2 x1＝0 解得 y1＝4
－1－x2＝1 ，和 2－y2＝2
核心要点研究
例1 [2013· 南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分 → → → 别是边CD和BC的中点．若 AC ＝λ AE ＋μ AF ，其中λ，μ∈ R，则λ＋μ＝________.
→ → → [解析] AC＝AB＋AD， → 1→ → AE＝2AB＋AD， → → 1→ AF＝AB＋ AD， 2 1 2λ＋μ＝1， 于是得 λ＋1μ＝1， 2 4 [答案] 3 4 所以λ＋μ＝ . 3
3. 平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a± b＝____________； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → AB＝____________；
• (3)若a＝(x，y)，则λa＝________； • (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， • 则a∥b⇔____________.
[变式探究] [2013· 金版原创]如图，在△ABC中，已知 AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60° ，AH⊥BC于H，M为AH的中 → → → 点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________.
2 答案：3
解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60° ， 所以BH＝1，M为AH的中点， → 1→ 1 → → 所以AM＝ AH＝ (AB＋BH) 2 2 1 → 1→ ＝ (AB＋ BC) 2 3 1→ 1→ 2 ＝ AB＋ BC，所以λ＋μ＝ . 2 6 3
→ 例2 [2013· 赤峰调研]已知点A(－1,2)，B(2,8)以及 AC ＝ 1→ → 1→ → 3AB，DA＝－3BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．
• [审题视点] 根据题意可设出点C、D的坐标， 然后利用已知的两个关系式，得到方程组， 求出坐标．
[解]
设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
[变式探究] 已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)． (1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式； → → (2)若AC＝2AB，求点C的坐标． → 解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，
→ AC＝(a－1，b－1) → → ∵A、B、C三点共线，∴AB∥AC， ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
→ → → (1)若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝________. (2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则3a＋b＝ ________. (3)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量(－4， －7)共线，则λ＝________.