第七章 截面几何性质基本要求与重点1.形心与重心（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。

（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。

（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。

2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。

（2）能熟练计算组合图形的静矩。

（3）熟知面积静矩的重要性质。

3.惯性矩与极惯性矩。

（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。

（5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩（6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。

4.了解惯性积、形心主轴的概念主要内容1.形心与重心（1）概念与性质重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。

对均质物体，重心与形心位置重合。

若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。

（2）计算形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。

其中，常用的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A==⋅∆⋅∆==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。

积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。

（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。

也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。

（3）计算根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算。

11S S n nx ix i i c i i y A y A ====⋅∆=⋅∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====⋅∆=⋅∑∑3.惯性矩与极惯性矩。

（1）定义点对轴的惯性矩：22z y dI y dA dI z dA =⋅=⋅，点对点的极惯性矩2O dI dA ρ=⋅图形对轴的惯性矩22,z y A AI y dA I z dA ==⎰⎰ 图形对点的惯性矩2p AI dA ρ=⎰ （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系若y z I I 、是某一图形对直角坐标系yOz 中两轴的惯性矩，p I 是对该坐标系原点O 的极惯性矩。

则：p z y I I I =+（4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。

（太长了，慢慢读）即：2C z z I I A d =+⋅（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。

第1步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。

第2步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。

第3步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。

4.惯性积、形心主轴的概念惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。

yz AI z ydA =⋅⎰ 惯性积的值可为：正、负或零。

当0yz I =时，对应的坐标轴y z 、称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。

两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。

思考题与习题7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系？答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。

7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z的静矩有何关系？答：同上。

7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？答:定义在主要内容中所详细说明。

由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。

面积元为正，坐标可能为正、负、零。

所以惯性积，可为正、负、零。

而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所以它们的积分也为正。

7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化？为什么？答：惯性矩为变大。

因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。

7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩4128z D I π=，则对z 1轴的惯性矩如下计算是否正确？为什么？()1242421512828128z D D D D I I a A πππ=+=+⋅= 答：不对。

平行移轴公式2C z z I I a A =+中，C z I 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。

7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离？答：1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：z i =。

惯性半径不是图形形心到该轴的距离。

2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。

（什么时候？）7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为1z 轴，试计算对1z z 1轴的静矩。

解：a )1320040402004016040226() 1.24810z S m m =⨯⨯++⨯⨯=⨯ b)134024020010024040200326()().71210z S m m =⨯⨯⨯+⨯⨯+=⨯ 或1324024012016020010036.71210z S mm =⨯⨯-⨯⨯=⨯ c)13401208040160401204012040201152226()().10z S m m =⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=⨯7-8．如图7—20所示截面图形，求（1）形心C 的位置；（2）阴影部分对z 轴的静矩。

解：1.求形心C 的位置。

形心在y 轴上，设到底边的距离为C y 。

300500250140600140702751300500600140().C y m m ⨯⨯++⨯⨯==⨯+⨯ 2.阴影部分对z 轴的静矩 73275114060014027517030027511402*.(.)(.) 1.99710z S m m -=-⨯⨯--⨯-⨯=-⨯ 若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。

即73640275130064027512*.(.) 1.99710z S m m -=-⨯-⨯=-⨯7-9．计算图示矩形截面对其形心轴z 的惯性矩；已知b =150mm ，h =300mm 。

如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z 轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。

解：1.矩形惯性矩33415030012128I 3.37510z bh m m ⨯===⨯ 2.工字形惯性矩3324502003505021253505058I ().87510z mm ⨯⨯=+⨯+⨯⨯=⨯ 或用负面积法3343503001502002512128I .87510z m m ⨯⨯=-⨯=⨯ 3.计算增大的百分比p 。

51007474888.87510 3.37510%.%3.37510p ⨯-⨯=⨯=⨯7-10．计算图示各图对形心轴z c 、y c 的惯性矩。

解：a )图34347424012031426022332912641264.I .10C z b h D m m π⨯⨯⨯⨯=-⨯=-⨯=⨯342234228460230126424240120314260314260260116612644I (())..().10C y b h D D m m ππ⨯⨯=-⨯++⨯⨯⨯⨯=-⨯+⨯=⨯ b)图343474200803142802210541212812128.I .10C z b h D mm π⨯⨯⨯⨯=+⨯=+⨯=⨯ 324223242284184210012823920080183142404402314240100128233142931421227I (()()).(().())...10C y b h R R R m m ππππ⨯=+⨯-⨯+⨯+⨯⨯⨯=+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯=⨯7-11．计算图示图形对其形心轴z 的惯性矩。

解1.计算形心轴到顶边的距离d 。

1806030260152605602401206011401806026015260240()().d mm ⨯⨯+⨯⨯÷⨯++⨯⨯+==⨯+⨯⨯÷+⨯ 2.计算对形心轴z 的惯性矩。

3322841806018060180603018060114301151101212(d )().c Iz I m m ⨯⨯=+⨯⨯-=+⨯⨯-=⨯ 33228460156015601526056015211460536360010910II (d )().c z I m m ⨯⨯=+⨯÷⨯--=+⨯÷⨯--=⨯ 3322846024060240602401206060240120601141212131810III (d)().c z I m m ⨯⨯=+⨯⨯+-=+⨯⨯+-=⨯ 88421151200108131810249110I II III (...).c c c c z z z z I I I I mm =+⨯+=+⨯+⨯=⨯7-12．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。

解：由型钢表可查得。

单个参数如下：面积232192611926110..A cm m m ==⨯形心到边的距离0284284..z cm m m ==对平行于边且过形心的轴的惯性矩464179511795110..C C y z I I cm mm ===⨯由于D y 是对称轴，且D z 过形心，根据形心主轴的性质可知D y 、D z 是形心主轴。

664221795110359010..D C z z I I mm ==⨯⨯=⨯263264025217951101926102845788710(())(..(.)).D C y y I I A z mm =+⨯+=⨯+⨯⨯+=⨯7-13．要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离a 的值。

解：查表得对单个工字钢：面积232143451434510..A cm m m ==⨯464330033010..C y I cm mm ==⨯46424524510.C z I cm mm ==⨯对两个工字钢6464222451049010..C z z I I mm mm ==⨯⨯=⨯22632203301014351044()(..)C y y a a I I A =+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：26634901020330101435104.(..)a ⨯=⨯⨯+⨯⨯ 解得：769.a m m =补充与拓展1.三角形的形心位置的讨论 三角形的形心在顶点与边中点连线的交点上，其到边的垂直距离为高的13。