2 ( X X ) ]/( n i 1 1 ) 2 ( Y Y ) ]/( n i 2 1 ) i 1 i 1 n1 n1
n1
n1 n2 2
.
2 2 S1 / σ1 2 2 ~F(n 1 - 1 , n2 - 1 ) . S 2 / σ2
§3
正态总体参数的假设检验
iid
Cov ( X C o v ( X 1, Y1 ) 1, Y2 ) C o v ( X, Y ) C o v ( X, Y ) 2 1 2 2 Cov ( X n , Y1 ) n , Y2 ) C o v ( X σ i j nm
def
Cov ( X 1, Ym ) Cov ( X , Y ) 2 m Cov ( X , Y ) n m
| X μ| )=P(|t|<1.397) 18.45/9 18.45/9 2
=1 – P(|t|≥1.397) =1 – 2P(t≥1.397) = 0.80
2. 设X1, …, Xn1 ~ N(μ1,σ1
iid
2)，
Y1, …, Yn2 ~ N(μ2,σ22)，
σ
n1
iid
且相互独立，则 ( 1 ) U X Y ( μ1 μ2 ) ~ N ( 0 , 1) . 1 1
随机向量X的协方差阵 D(X) = Cov(X,X) = E[(X—E(x))(X—E(X))T ]
随机向量X的相关阵 R = ( rij )n×n 其中 rij = σij / [D(Xi)D(Xj) ]0.5 均值向量与协方差阵的性质 1.设X、Y是随机向量，A、B是常数矩阵，则 E(AX) = A E(X) E(AXB) = A E(X) B
2
由p{ U Uα } α， 可得拒绝域： U Uα
2
查表, 计算, 比较大小, 得出结论
说明：H0：=0；H1：0称为双侧HT问题；而
H0：=0；H1： >0(或< 0), 则称为单侧HT问题。
H0：=0；H1：>0,
H0：=0；H1：<0, X μ0 H0下检验统计量U ~ N ( 0， 1) σ n 由p{ U Uα } α， 由p{ U Uα } α，
2. F—分布的分位点 对于：0<<1，若存 在F(n1, n2)>0，满足
P{FF(n1, n2)}=， 则
称F(n1, n2)为F(n1, n2)的
上侧分位点。
注： 例
1 F1α ( n1, n2 ) Fα ( n2 , n1 )
F (n1 , n2 )
查表 F0.025(10, 15)= 3.52 F0.95(10, 15)= 1/F0.05(15, 10) =1/2.54 ≈0.39
t(n)称为自由度为n的t—分布。
2.概率密度曲线
3.基本性质:
(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称；(2)t(n)
t 2
2
n ∞
N(0，1)
即： limf ( t ) ( t ) 1 e , x n 2 4.分位点 设T～t(n)，若对:0<<1,存在t(n)>0， 满足 P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点。 注:
当 0, 1 , 即 X ~ N(0,1) 时, 称 X 服从标准正态分布. 标准正态分布的专用符号: 密度函数 分布函数
( x)
1 2 e
x2 2
, x
x
( x) P( X x)
1 2

e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

t2 2
dt
二元正态分布的密度函数为：
一、单总体均值的假设检验
值 x1， ，xn检验假设H 0： 0 设X 1， ，X n ~ N ( ， 2 ), 给定检验水平 ，由观测
1、2已知的情形---U检验 对于假设H0：=0；H1：0 构造检验统计量
X μ0 U σ n
H0真

X μ ~ N ( 0， 1) σ n
由p{T＞t(n 1)} =, 得水平为的拒绝域为 T＞t(n1) 由p{T＜－t(n 1)} =, 得水平为的拒绝域为 T＜－ t(n 1)


例 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测 得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强 度服从正态分布,取=0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉 强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高? 解:H0：=10620；H1：>10620
正态总体统计量的分布
1. 设X1, …, Xn ~ N(μ,σ2)，则 1 n σ2 X μ ( 1) X X i ~ N ( μ, ), u ~ N ( 0, 1) . n i1 n σ/ n n 1 2 2 2 ( 2) 2 ( Xi - ) ~ ( n) . σ i1
2 i 1 iid n
称为自由度为 n的 2 分布.
2. 2—分布的密度函数 f(x) 曲线
3. 分位点 设X ~
2(n)，若对于：0<<1，存在
2
(n) 0
2
满足
2
P{X (n)} ,
2 为 (n) 分布的上分位点。 则称 (n)
例
查表:
20.05(12)= 21.0 20.90(12)= 6.30
2 ( n)
4.性质： 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )，X与 Y独立， 则 X + Y ~ 2(n1+n2 )
二、t—分布
1.构造 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立，则
T ξ ~ t(n) η /n
D(AX) = A D(X) AT
Cov(AX, BY) = A Cov(X, Y) BT
2.若X与Y相互独立，则Cov(X, Y) = 0；反之，不一定成立。 3.随机向量X的协方差阵D(X) = Σ是对称非负定矩阵，并有如 下分解：Σ＝AAT (A是可逆阵)。
若m元随机向量X＝(X1,…,Xm)T的概率密度函数为 f(x1,…,xm) = (2π)- m/2 |Σ|- 0.5 exp{--0.5(x—μ)T Σ-1 (x—μ)} 其中μ、Σ分别是X的均值向量和协方差阵，则称X为m元正态分 布。记作X ~ N (μ, Σ)。
iid
( 3) X 与 S 相互独立 ， 2 n ( n 1) S 1 2 2 2 ( X X ) ~ ( n 1) , i 2 2 σ σ i1 X μ t ~ t( n 1) . S/ n
2
例1：设总体X~N(μ,σ2), 从总体X中抽取9个样本，求样 本均值与总体均值之差的绝对值小于2的概率，如果（1 ）已知总体方差σ2 =16；（2）未知σ2 ，但已知样本方 差S2 =18.45。 X μ ~ N ( 0, 1) . 解 (1)样本函数 u σ/ n
所以，当且仅当 0 时， f ( x, y) f X ( x) fY ( y) ，即 X 与 Y 相互独立.
设随机向量X＝(X1,…,Xn)T，Y＝(Y1,…,Ym)T.
随机向量X的均值向量E(X)＝(E(X1),…,E(Xn))T. 随机向量X和Y的协方差阵 Cov(X,Y) = E[(X—E(x))(Y—E(Y))T ]
a X
i 1 i
n
i
~ N ( ai i , a )
i 1 i 1 2 i 2 i
n
n
§2
数理统计中的某些常用分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统 计中常用到如下三个分布： 2—分布、 t —分布和F—分布。
一、 2—分布
1. 构造 设 X 1 ,, X n ~ N (0,1), 则 X i2 ~ 2 (n).
n2
X Y ( μ1 μ2 ) ( 2) T ~ t( n 1 1 , n2 1 ) , 1 1 2 2 S w n1 n2 ( n1 1) S ( n 1) S 2 1 2 2
其 中 Sw
1 [ 2 ( Xi μ1 )2 ] / n 1 σ1 i1 ( 3 )F ~F(n 1, n 2 ) . n1 1 2 [ 2 ( Y μ ) ] / n2 i 2 σ 2 i1 1 [ 2 σ1 ( 4 )F 1 [ 2 σ2
X与Y的边缘密度函数为：
f X ( x)
fY ( y )

1 f ( x, y )dy e 2 1

( x 1 )2 212
, x
, y


1 f ( x, y )dx e 2 2
( y 2 ) 2 2 22
f ( x, y) 1 21 2 1
2
e
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 1 2 2(1 2 ) 22 1 1
1 0, 2 0, x , y


2
2
X μ0 检验统计量 :T ~ t( n 1) S n
由p{|T|＞t/2(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
|T|＞t/2(n1)
· 右侧HT问题 H0： =0 ；H1： >0
· 左侧HT问题 H0： =0 ；H1： <0
X μ0 检验统计量 :T ~ t( n 1) S n
t1 (n) t (n)
例
查表